第七节 二次函数y=ax2+bx+c的图象

典型例题

　　例1、 已知二次函数，当x＝4时有最小值-3，且它的图象与x轴交点的横坐标为1，求此二次函数解析式．

　　分析：因为二次函数当x=4时有最小值-3，所以顶点坐标为(4，-3)，对称轴为x=4，抛物线开口向上．图象与x轴交点的横坐标为1，即抛物线过(1，0)点．又根据对称性，图象与x轴另一个交点的坐标为(7，0)有下面的草图：

　　解：此题可用以下四种方法求出解析式．

　　方法一：因为抛物线的对称轴是ｘ＝４，抛物线与ｘ轴的一个交点为（1，0），由对称性可知另一点为（7，0），同例1，抛物线y=ax²＋bx＋c通过(4，-3)、(1，0)、(7，0)三点，由此列出一个含a、b、c的三元一次方程组，可解出a、b、c来．

　　方法二：由于二次函数当x=4时有最小值-3，又抛物线通过(1，0)点，所以

　　　

　　由上面的方程组解出a、b、c．

　　方法三：由于抛物线的顶点坐标已知，可以设二次函数式为y=a(x+h)²+k，其中h=-4，k=-3即有y=a(x-4)²-3，式中只有一个待定系数a，再利用抛物线通过(1，0)或通过（7，0）求出a来. 即 得出 . 所求二次函数解析式为

　　方法四：由于抛物线与x轴的两个交点的横坐标分别为x₁=1，x₂=7．可以采用双根式y=a(x-x₁)(x-x₂)，其中x₁=1，x₂=7即有y=a(x-1)(x-7)式中只有待定系数a，再把顶点(4,-3)代入上式得: 所求二次函数解析式为
.

　　例2、 如果以y轴为对称轴的抛物线y=ax²+bx+c的图象如图13-25所示，那么代数式b+c-a与零的关系是 [　]

　　A．b+c-a=0；　　B．b+c-a＞0；

　　C．b+c-a＜0；　　D．不能确定．

　　解： 从图13-25上看出抛物线开口向下，所以a＜0．当x=0时，y的值为正，所以c＞0．又因为抛物线以y轴为对称轴，所以b=0．

　　综上分析知b+c-a＞0，应选B．

　　注意：这个题考察了二次函数中三个系数a、b、c的含义，二次项系数a决定抛物线开口方向，c为抛物线在y轴上的截距即抛物线与y轴交点的纵坐标，抛物线的对称轴方程为 ，要根据图象具体分析才能得出正确结论．

　　例3、已知：二次函数y=x²+2ax-2b+1和y=-x²+(a-3)x+b²-1的图象都经过x轴上两个不同的点M、N，求 a，b的值．

　　解：方法一 依题意，设M(x₁，0)，N(x₂，0)，且x₁≠x₂，则x₁，x₂为方程x²+2ax-2b+1=0的两个实数根，所以x₁+x₂=-2a，x₁·x₂=-2b+1．

　　因为x₁，x₂又是方程-x²+(a-3)x+b²-1=0的两个实数根，所以x₁+x₂=a-3，x₁·x₂=1-b²．由此得方程组

　　当a=1，b=0时，二次函数的图象与x轴只有一个交点，所以 a=1，b=0舍去．

　　当a=1，b=2时， 二次函数为y=x²+2x-3和y=-x²-2x+3符合题意，所以a=1，b=2．

　　方法二 因为二次函数y=x²+2ax-2b+1的图象的对称轴为x=-a，二次函数的图象的对称轴为，又两个二次函数图象都经过x轴上两个不同的点M，N．所以两个二次函数图象的对称轴为同一直线，所以 ，解得a=1. 所以两个二次函数分别为y=x²+2x-2b+1和y=-x²-2x+b²-1．

　　依题意，令y=0得

　　　x²+2x-2b+1=0，　　(1)

　　　-x²-2x+b²-1=0，　　(2)

　　(1)+(2)得b²-2b=0，解得b₁=0，b₂=2．

　　以下解法同方法一．

　　注意：本题给出两种不同的解法．方法一的关键是紧紧抓住问题的本质就是两个二次函数图象都经过x轴上两个不同的点M，N．从而把文字语言转化为代数语言，设M(x₁，0)，N(x_2，0)，再转化为x₁，x₂是两个二次方程的等根来解．

　　方法二是利用两个二次函数的图象都经过x轴上两个不同的点M，N这个现象，挖掘它的内涵(从草图中也可看出)知道，两个二次函数图象的对称轴应为同一直线，从而解得a=1．在求b的过程中把方程(1)和方程(2)相加消去x，因为两个方程设而不解，这种方法同学们可能不习惯,可以这样理解: 都是方程(1)和(2)的解,不妨设 ,同时也应有 ,所以 .从而推出2b=b²得解．

　　最后提醒学生对于解得的结果还要进行检验是否符合题意．

　　例4、 二次函数y=ax²+bx+c与一次函数y=ax+c在同一坐标系中的图象大致是 [　]

　　解： 图象大致是D．

分析： 这一类题是考察数学逻辑推理能力．题目中a，b，c均是变量，字母多不知从何下手考虑．考虑问题应该是有层次的，首先抓住两个函数共性的东西，如两个图象的交点中有一个是(0，c)，也就是说两个图象的交点中有一个应在y轴上，从而否定了A．和B．，且c＞0．其次考虑完字母c后，再考虑a的取值．若a＞0，则直线y=ax+c与x轴交点应在原点左边，这样否定了C．；再检验D．，从二次函数图象知a＜0，且c＞0，直线y=ax+c与x轴交点应在原点右边，所以D．是正确的．考虑变量的取值范围要先考虑第一个再考虑第二个、第三个有次序地进行，切忌无头绪地乱猜，思维

　　例5、 如果抛物线y=-x²+2(m-1)x+m+1与x轴交于A、B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b．

　　(1)求m的取值范围；

　　(2)若a∶b=3∶1，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；

　　(3)设(2)中的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积等于△BCM面积的8倍？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由．

　　解：(1)设A、B两点的坐标分别为(x₁，0)，(x₂，0)．因为A、B两点在原点的两侧，所以x₁·x₂＜0，即-(m+1)＜0．

　　　

　　　当m＞-1时，Δ＞0，所以m的取值范围是m＞-1．

　　(2)因为a∶b=3∶1，设a=3k，b=k(k＞0)，则x₁=3k，x₂=-k，所以

　　　

　　　所以m=2．

　　　所以抛物线的解析式是y=-x²+2x+3．

　　(3)易求抛物线y=-x²+2x+3与x轴的两个交点坐标是A(3，0)，B(-1，0)；抛物线与y轴交点坐标是C(0，3)；顶点坐标是M(1，4)．设直线BM的解析式为

y=px+q，

　　　

　　　所以直线BM的解析式是y=2x+2．设直线BM与y轴交于N，则N点坐标是(0，2)．所以

　　　设P点坐标是(x，y)，因为S_△ABP=8S_△BCM．所以

　　　所以｜y｜=4，由此得y=±4．

　　　当y=4时，P点与M点重合，即P(1，4)；

　　　

　　　所以满足条件的P点存在．

　　　

　　注意：这一类题是探索性的，需要独立思考，前两问是为第三问作铺垫的，都是常规的思路不太难．第三问是假设条件成立可导出什么结果，在求△BCM的面积时要用分割法，因为△BCM是任意三角形，它的面积不好求，而△BCN和△CMN的面积都好求，底都为CN=1，高都是1．S_△BCM=S_△BCN+S_△CMN这样就化难为易了．方程-x²+2x+3=±4有解则P点存在，如果方程无解则P点不存在，探索性题的思路都是这样的．

　　例6、 某商场购进一批单价为16元的日用品，经试验发现，若按每件20元的价格销售时，每月能卖360件，若按每件25元的价格销售时，每月能卖210件，假定每月销售件数y(件)是价格x(元/件)的一次函数．

　　(1)试求y与x之间的关系式；

　　(2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才能使每月获得最大利润？每月的最大利润是多少？

　　解：(1)依题意设y=kx+b，则有

　　　所以

y=-30x+960(16≤x≤32)．

　　(2)每月获得利润P=(-30x+960)(x-16)

　　　　　　=30(-x+32)(x-16)

　　　　　　=30(-x2+48x-512)

　　　　　　=-30(x-24)2+1920．

　　　所以当x=24时，P有最大值，最大值为1920．

　　答：当价格为24元时，才能使每月获得最大利润，最大利润为1920元．

　　注意：数学应用题来源于实践用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用一元二次函数求最值．

返回页首