第十二节 和圆有关的比例线段

第1课时：相交弦定理

　　教学目标：

　　1．理解相交弦定理及其推论，并初步会运用它们进行有关的简单证明和计算；

　　2．学会作两条已知线段的比例中项；

　　3．通过让学生自己发现问题，调动学生的思维积极性，培养学生发现问题的能力和探索精神；

　　4．通过推论的推导，向学生渗透由一般到特殊的思想方法．

　　教学重点：

　　正确理解相交弦定理及其推论．

　　教学难点：

　　在定理的叙述和应用时，学生往往将半径、直径跟定理中的线段搞混，从而导致证明中发生错误，因此务必使学生清楚定理的提出和证明过程，了解是哪两个三角形相似，从而就可以用对应边成比例的结论直接写出定理．

　　教学活动设计

　　（一）设置学习情境

　　 1、图形变换：（利用电脑使AB与CD弦变动）

　　①引导学生观察图形，发现规律：∠A＝∠D，∠C＝∠B．

　　②进一步得出：△APC∽△DPB．

　　 ．

　　 ③如果将图形做些变换，去掉AC和BD，图中线段 PA，PB，PC，PO之间的关系会发生变化吗?为什么?

　　组织学生观察，并回答．

　　2、证明：

　　已知：弦AB和CD交于⊙O内一点P．

　　求证：PA·PB＝PC·PD．

　　（A层学生要训练学生写出已知、求证、证明；B、C层学生在老师引导下完成）

　　（证明略）

　　（二）定理及推论

　　1、相交弦定理： 圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．

　　结合图形让学生用数学语言表达相交弦定理：在⊙O中；弦AB，CD相交于点P，那么PA·PB＝PC·PD．

　　2、从一般到特殊，发现结论．

　　 对两条相交弦的位置进行适当的调整，使其中一条是直径，并且它们互 相垂直如图，AB是直径，并且AB⊥CD于P．

　　提问：根据相交弦定理，能得到什么结论?

　　指出：PC²＝PA·PB．

　　请学生用文字语言将这一结论叙述出来，如果叙述不完全、不准确．教师纠正，并板书．

　　推论 如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项．

　　 3、深刻理解推论：由于圆是轴对称图形，上述结论又可叙述为：半圆上一点C向直径AB作垂线，垂足是P，则PC²＝PA·PB． 

　　若再连结AC，BC，则在图中又出现了射影定理的基本图形，于是有：

　　PC²＝PA·PB ；AC²＝AP·AB；CB²＝BP·AB

　　（三）应用、反思

　　例1 已知圆中两条弦相交，第一条弦被交点分为12厘米和16厘米两段，第二条弦的长为32厘米，求第二条弦被交点分成的两段的长．

　　 引导学生根据题意列出方程并求出相应的解．

　　例2  已知：线段a，b．

　　求作：线段c，使c²＝ab．

　　分析：这个作图求作的形式符合相交弦定理的推论的形式，因此可引导学生作出以线段a十b为直径的半圆，仿照推论即可作出要求作的线段．

　　作法：口述作法．

　　反思：这个作图是作两已知线段的比例中项的问题，可以当作基本作图加以应用．同时可启发学生考虑通过其它途径完成作图．

　　练习1 如图，AP＝2厘米，PB＝2．5厘米，CP＝1厘米，求CD．

　　变式练习：若AP＝2厘米，PB＝2．5厘米，CP，DP的长度皆为整数．那么CD的长度是 多少?

　　 将条件隐化，增加难度，提高学生学习兴趣

　　练习2 如图，CD是⊙O的直径，AB⊥CD，垂足为P，AP＝4厘米，PD＝2厘米．求PO的长．

　　练习3  如图：在⊙O中，P是弦AB上一点，OP⊥PC，PC 交⊙O于C．  求证：PC²＝PA·PB 

　　引导学生分析：由AP·PB，联想到相交弦定理，于是想到延长 CP交⊙O于D，于是有PC·PD＝PA·PB．又根据条件OP⊥PC．易 证得PC＝PD问题得证．

　　（四）小结

　　知识：相交弦定理及其推论；

　　能力：作图能力、发现问题的能力和解决问题的能力；

　　思想方法：学习了由一般到特殊(由定理直接得到推论的过程)的思想方法．

　　（五）作业

　　教材P132中 9，10；P134中B组4(1)．

　　

第2课时 切割线定理

　　教学目标：

　　1．掌握切割线定理及其推论，并初步学会运用它们进行计算和证明；

　　2．掌握构造相似三角形证明切割线定理的方法与技巧，培养学生从几何图形归纳出几何性质的能力

　　3．能够用运动的观点学习切割线定理及其推论，培养学生辩证唯物主义的观点．

　　教学重点：

　　理解切割线定理及其推论，它是以后学习中经常用到的重要定理．

　　教学难点：

　　定理的灵活运用以及定理与推论问的内在联系是难点．

　　教学活动设计

　　（一）提出问题

　　1、引出问题：相交弦定理是两弦相交于圆内一点．如果两弦延长交于圆外一点P，那么该点到割线与圆交点的四条线段PA，PB，PC，PD的长之间有什么关系？(如图1)

　　当其中一条割线绕交点旋转到与圆的两交点重合为一点(如图2)时，由圆外这点到割线与圆的两交点的两条线段长和该点的切线长PA，PB，PT之间又有什么关系？

　　2、猜想：引导学生猜想出图中三条线段PT，PA，PB间的关系为PT²=PA·PB．

　　3、证明：

　　让学生根据图2写出已知、求证，并进行分析、证明猜想．

　　分析：要证PT²=PA·PB，  可以证明，为此可证以 PA·PT为边的三角形与以PT，BP为边的三角形相似，于是考虑作辅助线TP，PB．(图3)．容易证明∠PTA=∠B又∠P=∠P，因此△BPT∽△TPA，于是问题可证．

　　 4、引导学生用语言表达上述结论．

　　切割线定理  从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．

　　（二）切割线定理的推论

　　1、再提出问题：当PB、PD为两条割线时，线段PA，PB，PC，PD之间有什么关系?

　　观察图4，提出猜想：PA·PB=PC·PD．

　　2、组织学生用多种方法证明：

　　方法一：要证PA·PB=PC·PD，可证此可证以PA，PC为边的三角形和以PD，PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AC，BD，容易证明∠PAC=∠D，∠P=∠P，因此△PAC∽△PDB．  (如图4)

　　方法二：要证，还可考虑证明以PA，PD为边的三角形和以PC、PB为边的三角形相似，所以考虑作辅助线AD、CB．容易证明∠B=∠D，又∠P=∠P．  因此△PAD∽△PCB．(如图5)

　　方法三：引导学生再次观察图2，立即会发现．PT²=PA·PB，同时PT²=PC·PD，于是可以得出PA·PB=PC·PD．PA·PB=PC·PD

　　推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．（也叫做割线定理）

　　（三）初步应用

　　例1  已知：如图6，⊙O的割线PAB交⊙O于点A和B，PA=6厘米，AB=8厘米， PO=10.9厘米，求⊙O的半径．

　　分析：由于PO既不是⊙O的切线也不是割线，故须将PO延长交⊙O于D，构成了圆的一条割线，而OD又恰好是⊙O的半径，于是运用切割线定理的推论，问题得解．

　　（解略）教师示范解题．

　　 例2  已知如图7，线段AB和⊙O交于点C，D，AC＝BD，AE，BF分别切⊙O于点E，F，

　　求证：AE＝BF．

　　分析：要证明的两条线段AE，BF均与⊙O相切，且从A、B 两点出发引的割线ACD和BDC在同一直线上，且AC＝BD，AD＝BC．  因此它们的积相等，问题得证．

　　学生自主完成，教师随时纠正学生解题过程中出现的错误，如AE²＝AC·CD和BF²＝BD·DC等．

　　巩固练习：P128练习1、2题  

　　（四）小结

　　知识：切割线定理及推论；

　　能力：结合具体图形时，应能写出正确的等积式；

　　方法：在证明切割线定理和推论时，所用的构造相似三角形的方法十分重要，应注意很好地掌握．

　　（五）作业教材P132中，11、12题．