第十二节 和圆有关的比例线段
典型例题
例1、某机械传动装置在静止状态时,如图所示.连杆PB与点B运动所形成的交于点A,测量得PA=4cm,AB=5cm,⊙O半径为4.5cm.求点P到圆心O的距离.
解:连结PO并延长,交⊙O于点C、D.
根据切割线定理的推论,有PA·PB=PC·PD.
∵PB=PA+AB=4+5=9,PC=PO-4.5,PD=PO+4.5,
∴ , ,
∴OP= .又OP为线段,取正数得OP=7.5(cm)
∴点P到圆心O的距离为7.5(cm).
说明:割线定理的在计算中的简单应用.
例3、已知:如图,AB是⊙O的弦,P是AB上的一点,AB=10cm,PA=4cm,OP=5cm,求⊙O的半径.
分析:由P为AB上的一点,且巳知PA、PB故联想到相交弦定理,所以需把OP向两方延长,分别与圆相交,再利用相交弦定理解之.
解:向两方延长OP,分别交⊙O于C、D
由相交弦定理有: BP·AP=CP·DP
设CO=x,则
解得: ,∵CO>0,∴CO=7(cm)
答:⊙O半径为7cm.
说明:①相交弦定理的简单应用;②作辅助线构成基本图形.
例3、已知:如图,在△ABC中,∠C=90°,BE是角平分线,DE⊥BE交AB于D,⊙O是△BDE的外接圆。
(1)求证AC是⊙O的切线;
(2)若AD=6,AE=6 ,求DE的长。
证明(1):连结OE
∵BE是∠ABC的平分线,∴∠1=∠2,
又∵∠BED=∠C=90°,∴△BCE∽△BED,
∴∠4=∠3,
又∵OE=OB,∴∠1=∠5,∴∠4+∠5=∠1+∠3=90°,
∴OE⊥AC,∴AC是⊙O的切线.
(2)∵AE是⊙O的切线,AE=6 ,AD=6,
∴ ,∴ .
∴BD=AB-AD=12-6=6
∵∠AED=∠ABE,∠A=∠A,∴△AED∽△ABE,∴
设DE= ,BE=2x,∵ ,∴ ,
得 (负的舍去),∴ .
说明:①此题主要应用:切线的判定定理,切割线定理、相似形以及勾股定理以及相似形;
此题是与切割线定理有关的计算综合问题.
例4、如图,PA切⊙O于A,割线PBC交⊙O于B、C两点,D为PC的中点,连AD并延长交⊙O 于E,已知: .
求证:(1)PA=PD;
(2) .
分析:(1)易证∠PAD=∠PDA;
(2)关键在于利用线段之间的关系、等式性质,证出PB=BD.
证明:(1)连结AB
在△DBE和△BAE中 ,
∵ ,即 ,
又∠BED=∠AEB,∴△DBE∽△BAE
∴∠2=∠3
∵PA切⊙O于A,∴∠1=∠E
又∠PAD=∠1+∠2,∠PDA=∠3+∠E.
∴∠PAD=∠PDA,∴PA=PD.
(2)由切割线定理知, ,
又PA=PD,PD=DC, ∴ ,
∴PB=BD.
又 (相交弦定理),
DC=2PB,BD=PB,∴ .
说明:本题应用的知识点有:切割线定理、相交弦定理、弦切角定理、相似角形,利用等式性质证明线段的中点.