第一节 角的概念的推广
教学设计示例(一)
角的概念的推广
教学目标
1.理解引入大于 角和负角的意义.
2.理解并掌握正、负、零角的定义.
3.掌握终边相同角的表示法.
4.理解象限角的概念、意义及其表示方法.
重点难点
1.理解并掌握正、负、零角的定义.
2.掌握终边相同角的表示法.
教学用具
直尺、投影仪
教学过程
1.设置情境
设置实例(1)用扳手拧螺母(课件);(2)跳水运动员身体旋转(视频).说明旋转第二周、第三周……,则形成了更大范围内的角,这些角显然超出了我们已有的认识范围。本节课将在已掌握 ~ 角的范围基础上,重新给出角的定义,并研究这些角的分类及记法.
2.探索研究
(1)正角、负角、零角概念
①一条射线由原来位置 ,绕着它的端点 ,按逆时针方向旋转转到 形成的角规定为正角,如图中角 ;把按顺时方向旋转所形成的角规定为负角,如图中的 ;射线没作任何旋转时,我们认为它这时也形成了一个角,并把这个角规定为零角,与初中所学角概念一样, 、 ,点 分别叫该角的始边、终边、角顶点.
②如果把角顶点与直角坐标系原点重合,角的始边在 轴的正半轴上,这时,角的终边落在第几象限,就称这个角是第几象限角,特别地,如果角的终边落在坐标轴上,就说该角不属于任何象限,习惯上称其为轴上角.
③我们作出 , 及 三个角,易知,它们的终边相同。还可以看出, , 的终边也是与 角终边重合的,而且可以理解,与 角终边相同的角,连同 在内,可以构成一个集合,记作 .一般地,我们把所有与角 终边相同的角,连同角 在内的一切角,记成 , 或写成集合 形式.
(2)例题分析
【例1】在 ~ 间,找出与列列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角(1) ;(2) ;(3) .
解:(1)∵
∴与 角终边相同的角是 角,它是第三象限的角;
(2)∵
∴与 终边相同的角是 ,它是第四象限的角;
(3)
所以与 角终边相同的角是 ,它是第二象限角.
总结:草式写在草稿纸上,正的角度除以 ,按通常除去进行;负的角度除以 ,商是负数,它的绝对值应比被除数为其相反数时相应的商大1,以使余数为正值.
练习:(学生板演,可用投影给题)
(1)一角为 ,其终边按逆时针方向旋转三周后的角度数为_______.
(2)集合 中,各角的终边都在( )
A. 轴正半轴上,
B. 轴正半轴上,
C. 轴或 轴上,
D. 轴正半轴或 轴正半轴上
解答:(1) (2)C
【例2】写出与下列各角终边相同的角的集合 ,并把 中适合不等式 的元素 写出来:
(1) ;(2) ;(3) .
解:(1)
中适合 的元素是
(2)
满足条件的元素是
(3)
中适合元素是
说明:与角 终边相同的角,连同 在内可记为 , 这里
(1) ; (2) 是任意角;
(3) 与 之间是“+”连接,如 应看做 ;
(4)终边相同角不一定相等,但相等的角终边必相同,终边相同的角有无数个,它们彼此相差 的整数倍;
(5)检查两角 , 终边是否相同,只要看 是否为整数.
练习:(学生口答:用投影给出题)
(1)请用集合表示下列各角.
① ~ 间的角 ②第一象限角 ③锐角 ④小于 角.
(2)分别写出:
①终边落在 轴负半轴上的角的集合;
②终边落在 轴上的角的集合;
③终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合;
④终边落在四象限角平分线上的角的集合.
解答(1)① ;
② ;
③ ;④
(2)① ;
② ;
③ ;
④ .
说明:第一象限角未必是锐角,小于 的角不一定是锐角, ~ 间的角,根据课本约定它包括 ,但不包含 .
【例3】用集合表示:
(1)第三象限角的集合.
(2)终边落在 轴右侧的角的集合.
解:(1)在 ~ 中,第三象限角范围为 ,而与每个 角终边相同的角可记为 , ,故该范围中每个角适合 , ,故第三象限角集合为 .
(2)在 ~ 中, 轴右侧的角可记为 ,同样把该范围“旋转” 后,得 , ,故 轴右侧角的集合为 .
说明:一个角按顺、逆时针旋转 ( )后与原来角终边重合,同样一个“区间”内的角,按顺逆时针旋转 ( )角后,所得“区间”仍与原区间重叠.
3.练习反馈
(1)与 的终边相同且绝对值最小的角是______________.
(2)若角 与角 的终边重合,则 与 的关系是___________,若角 与角 的终边在一条直线上,则 与 的关系是____________.
(3)若 是第四象限角,则 是( ).
A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角
答案:(1) ;
(2) , , ;
(3)C
4.总结提炼
判断一个角 是第几象限角,只要把 改写成 , ,那么 在第几象限, 就是第几象限角,若角 与角 适合关系: , ,则 、 终边相同;若角 与 适合关系: , ,则 、 终边互为反向延长线.判断一个角所有象限或不同角之间的终边关系,可首先把它们化为: , 这种模式( ),然后只要考查 的相关问题即可.另外,数形结合思想、运动变化观点都是学习本课内容的重要思想方法.
课时作业
1.在 到 范围内,找出与下列各角终边相同角,并指出它们是哪个象限角
(1) (2) (3) (4)
2.写出终边在 轴上的角的集合(用 ~ 的角表示)
3.写出与 终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式 的元素 写出来.
4.时针走过3小时20分,则分钟所转过的角的度数为______________,时针所转过的角的度数为______________.
5.写出终边在直线 上的角的集合,并给出集合中介于 和 之间的角.
6.角 是 ~ 中的一个角,若角 与 角有相同始边,且又有相同终边,则角 .
参考答案:
1.(1) (2) (3) (4)
2.
3. , 或
4. ,
5. , 或
6.
教学设计示例(二)
角的概念的推广
教学目标
1.讨论等分角所在象限问题.
2.会表示给定区域内的角的集合.
重点难点
1.讨论等分角所在象限问题.
2.会表示给定区域内的角的集合.
教学用具
投影仪
教学过程
1.教学情境
我们都知道, 是锐角, 角的一半 也是锐角,那么第一象限角: , 的一半 是否仍在第一象限呢?
2.探索研究
(1)在上述问题中,令 , ,则
为了确认 的终边所在位置,关键是“看”, 是否为 的整数倍。为此可对 的奇、偶性展开讨论.
①若 , ,则 ,进而可知 与 角终边相同且在Ⅰ象限.
②若 , ,则 ,易知 与 角终边相同,都在Ⅲ象限.
综上可知, 在Ⅰ或Ⅲ象限,且它的两个终边互为反向延长线。
(2)若已知:角 满足 , 、 为常数, ,则 所在位置如何确定?
事实上,此问题可以仿照上述问题一样处理.
∵ ,
∴
为了确定 所在区间,需要确定“边界” , , 的位置,为此又需要“看” 是否为 的整数倍,故讨论如下.
①若 , ,则 ,
如图,它表示单位圆中的扇形区域Ⅰ.
②若 , ,
则
此时, 在单位圆中的区域Ⅱ中
综上知, 在对顶扇形Ⅰ、Ⅱ之中.
(3)例题分析
【例1】若 是第二象限角时,则 , , 分别是第几象限的角?
解:(1)∵ 是第二象限的角
∴
则 ,
故 是第三或第四象限的角,或角的终边在 轴的负半轴上.
(2)∵ ,
当 时, 是第一象限的角,
当 时, , 是第三象限的角,
∴ 是第一或第三象限的角.
(3)∵
,
当
时,
,
∴
是第一象限的角,
当
时
,
∴
是第二象限的角;
当
时,
,
∴
是第四象限的角;综上所述
是第一或第二或第四象限的角,
如图所示:
3.演练习反馈
1.设 ,
,
则相等的角集合为_______________.
2.如图,终边落在阴影处(包括边界)的角集合为( )
A.
B.
C.
D.
参考答案:1. , 2.D
4.总结提炼
(1)欲问角 在哪个象限,只需把 改写成 ,其中 ,如讨论形如 所表示的角所在象限,可按 , , 对整数 进行分类,目的是“凑”出表达:
(2)对表达式 , , 、 为常数,它的图示为单位圆中的对顶扇形.
课时作业
1.若 的终边在第一、三象限的角平分线上,则 的终边在_______.
2.下列各题中,正确的是( )
A.终边和始边都相同的两个角一定相等
B. 是第二象限的角
C.若 ,则 是第一象限角
D.相等的两个角终边一定相同
3.与 终边相同的角可写成( )
A. . B. .
C. . D. .
4.已知角 的终边与 轴的正半轴所夹的角为 ,且终边落在第二象限,又 ,求 .
5.已知
.
求 , .
参考答案:
1.在 轴正半轴上.(注: 轴正半轴上角都是 吗?)
2.选D
3.选C 取-2时
4.∵
∴ ,
5. .
.