第一节 角的概念的推广
例1 设 , , , ,那么有( ).
A. B.
C. ( ) D.
分析:解答本题时,先应明确所给集合中角的具体含义,再逐一对照每一个选项,明辨真伪.
解:第一象限的角不一定小于 (如 ),故A错;小于 的角不一定在第一象限(如 ),故B错; 的角 ,但 的角 ,故C错;又 ,因此D对,应选D.
说明:角的概念推广后,遇到角的问题,应根据角的范围及相关角的概念进行具体分析.如本题中的“锐角”与“小于 的角”就是两个含义不尽相同的概念.
例2 在 ~ 间,求出与下列各角终边相同的角,并判定它们分别是哪一个象限的角.
(1) ; (2) .
分析:求解本题,其关键在于正确得到 中的 值,即用给出的角去除以 所得到的整数部分.
解:(1)因为 ,
所以 即为欲求的角,它在第三象限,从而 也是第三象限的角.
(2)因为 ,
所以 即为所求的角,它是第三象限的角,故 也是第三象限的角.
说明:在 ~ 内求终边与给定的角的终边相同的角时,若题中给定的角是负角,在应用式子 表示时, 比正常除法所得整数应小一个单位,才能使余数在 ~ 内,故这里的 只能取-2,而不能-1,若取-1,则 ,这种形式对解本题并无作用,因为 不在 ~ 之间.
例3 (1)如图,终边落在 位置时的角的集合是____________;线边落在 位置,且在 内的角的集合是_________;终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是______________.
(2)已知 ,
求 与 .
分析:本题可借助数形结合的思想方法求解.
解:(1)由图形直观可得:终边落在 位置时角的集合是 ;终边落在 位置,且在 内的角的集合是 ;终边落在阴影部分(含边界)的角的集合是
.
(2)分别在直角坐标平面上画出表示集合 、 的示意图( 为横线部分, 为竖线部分)(如图)再由图形直观得出:
说明:求角值的集合的交集或并集时,借助数形结合是最简便的方法.
例4 已知 是第二象限的角,试求
(1) 角所在的象限; (2) 角所在的象限.
分析:对于本题,如若不进行较深入地推演,则很容易得到一个较明显而又错误的结论,即认为 角在第一象限; 角在第四象限,而事实上是不尽然的.
解:(1)因为 是第二象限的角,
所以 ,
从而有 .
由上知,当 为偶数时, 角是第一象限的角;当 为奇数时, 角是第三象限的角.
综上可知, 角是第一或第三象限的角.
(2)由(1)可知, 角的范围是 .
故 角是第三象限,或第四象限,或是 轴负半轴上的角.
说明:依照(1)中的方法,可得到以下规律:当 分别是第一、二、三、四象限时, 则可能顺次是第一或三、一或三、二或四、二或四象限的角.仿此,还可进一步考虑 的情形,有兴趣的读者不妨一试;另外,应注意,在(2)中,不可把 角答成是第三象限或第四象限的角,因为终边在 轴负半轴上的角 ( )也是它的一个解,而此角不属于任何象限.