第三节 任意角的三角函数

教学建议

一、知识结构

　　先通过平面直角坐标系定义了任意角的正弦、余弦、正切函数，并利用与单位圆有关的线段，将这些函数值分别用它们的几何形式表示出来；然后定义了任意角的正切、正割、余割函数．接着着重研究正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各个象限的符号；并根据三角函数的定义，得出“终边相同的角的同一三角函数的值相等”的结论及把此结论表示成第一组诱导公式（公式一）．

二、重点、难点分析

　　重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义及在各象限内的符号和定义域，诱导公式一；难点是用单位圆中的有向线段表示角的正弦、余弦、正切值．

　　（1）定义中的六个比值 等，与点 在终边上的位置无关，只与角的大小有关；它们都可以看作以角为自变量，以比值为函数值的函数，分别称为正弦函数，余弦函数等．

　　（2）三角函数在各象限内的符号，是根据三角函数的定义，终边上的点坐标符号来确定的，十分重要，在今后的学习中经常用到．

　　（3）定义域也是根据三角函数的定义，要求其有意义，即分母不为0而得到角的取值范围．

　　（4）诱导公式（一）也是利用任意三角函数的定义，结合终边相同的角定义得出，即终边相同的角的同名三角函数值相等： ．

　　（5）三角函数线是表示一个角三角函数值的几何方法，它们的大小即长度等于 的三角函数值的符号．特别注意的是它们均有方向，即起点和终点，记法：当两个端点都在 轴上时，以原点为起点（余弦线），当两个端点有一个在轴上时，以轴上的点为起点（正弦线、余弦线），特别是正弦线和正切线在后面三角函数的图象中，用来作出正弦曲线和正切曲线，所必须清楚其意义．

三、关于任意角的三角函数的教法建议

　　（1）由三角函数的定义可知，若已知角 终边上一点，便可求出其各三角函数值，或通过三角函数定义，可知其二求其一．

　　三角函数的符号与角所在象限有关，采用上图来记忆．

       （2）必须讲清并强调 这六个比值的大小都与点 在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．

　　（3）教学中应注意，语言要准确严密．首先“六种函数统称为三角函数”这句话，说明不是这六种函数的函数，都不能说是三角函数．

　　（4）教学中，应当引导学生深刻认识三角函数符号的含义．如， 这个符号，它表示 ，即角 的正弦，不能把 看成 与 的乘积，犹如 不能看成 与 的乘积一样，离开了自变量 ，符号 就没有意义了．同时也应注意，每个函数记号的第一个字母“ ”或“ ”或“ ”都不能大写，不能让学生养成写“ ”、“ ”等习惯．