第三节 任意角的三角函数
教学设计示例(一)
任意角的三角函数
教学目标:
1.通过对初中锐角三角函数定义的回忆,掌握任意角三角函数的定义法,并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值.
2.掌握已知角 终边上一点坐标,求四个三角函数值.(即给角求值问题)
教学重点:
任意角的三角函数的定义.
教学难点:
任意角的三角函数的定义,正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示.
教学用具:
直尺、圆规、投影仪.
教学步骤:
1.设置情境
角的范围已经推广,那么对任一角 是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢?本节课就来讨论这一问题.
2.探索研究
(1)复习回忆锐角三角函数
我们已经学习过锐角三角函数,知道它们都是以锐角 为自变量,以比值为函数值,定义了角 的正弦、余弦、正切、余切的三角函数,本节课我们研究当角 是一个任意角时,其三角函数的定义及其几何表示.
(2)任意角的三角函数定义
如图1,设 是任意角, 的终边上任意一点 的坐标是 ,当角 在第一、二、三、四象限时的情形,它与原点的距离为 ,则 .
定义:①比值 叫做 的正弦,记作 ,即 .
②比值 叫做 的余弦,记作 ,即 .
图1
③比值 叫做 的正切,记作 ,即 .
同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件
提问:对于确定的角 ,这三个比值的大小和 点在角 的终边上的位置是否有关呢?
利用三角形相似的知识,可以得出对于角 ,这三个比值的大小与 点在角 的终边上的位置无关,只与角 的大小有关.
请同学们观察当 时, 的终边在 轴上,此时终边上任一点 的横坐标 都等于0,所以 无意义,除此之外,对于确定的角 ,上面三个比值都是惟一确定的.把上面定义中三个比的前项、后项交换,那么得到另外三个定义.
④比值 叫做 的余切,记作 ,则 .
⑤比值 叫做 的正割,记作 ,则 .
⑥比值 叫做 的余割,记作 ,则 .
可以看出:当 时, 的终边在 轴上,这时 的纵坐标 都等于0,所以 与 的值不存在,当 时, 的值不存在,除此之外,对于确定的角 ,比值 , , 分别是一个确定的实数,所以我们把正弦、余弦,正切、余切,正割及余割都看成是以角为自变量,以比值为函数值的函数,以上六种函数统称三角函数.
(3)三角函数是以实数为自变量的函数
对于确定的角 ,如图2所示, , , 分别对应的比值各是一个确定的实数,因此,正弦,余弦,正切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射,它们都是以角为自变量,以比值为函数值的函数,当采用弧度制来度量角时,每一个确定的角有惟一确定的弧度数,这是一个实数,所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量,以比值为函数值的函数.
即:实数→角(其弧度数等于这个实数)→三角函数值(实数)
(4)三角函数的一种几何表示
利用单位圆有关的有向线段,作出正弦线,余弦线,正切线,如下图3.
图3
设任意角 的顶点在原点 ,始边与 轴的非负半轴重合,终边与单位圆相交于点 ,过 作 轴的垂线,垂足为 ;过点 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与角 的终边(当 为第一、四象限时)或其反向延长线(当 为第二、三象限时)相交于 ,当角 的终边不在坐标轴上时,我们把 , 都看成带有方向的线段,这种带方向的线段叫有向线段.由正弦、余弦、正切函数的定义有:
这几条与单位圆有关的有向线段 叫做角 的正弦线、余弦线、正切线.当角 的终边在 轴上时,正弦线、正切线分别变成一个点;当角 的终边在 轴上时,余弦线变成一个点,正切线不存在.
(5)例题讲评
【例1】已知角 的终边经过 ,求 的六个三角函数值(如图4).
解:∵
∴
提问:若将 改为 ,如何求 的六个三角函数值呢?(分 , 两种情形讨论)
【例2】求下列各角的六个三角函数值
(1) ;(2) ;(3) .
解:(1)∵当 时, ,
∴ , ,
不存在, , 不存在
(2)∵当 时, ,
∴ ,
不存在
不存在
(3)当 时, ,
∴
不存在 不存在
【例3】作出下列各角的正弦线,余弦线,正切线.(1) ;(2) .
解: , 的正弦线,余弦线,正切线分别为 .
【例4】求证:当 为锐角时, .
证明:如右图,作单位圆,当 时作出正弦线 和正切线 ,连
∵
∴
∴
利用三角函数线还可以得出如下结论
的充要条件是 为第一象限角.
的充要条件是 为第三象限角.
练习(学生板演,利用投影仪)
(1)角 的终边在直线 上,求 的六个三角函数值.
(2)角 的终边经过点 ,求 , , , 的值.
(3)说明 的理由. .
解答:
(1)先确定终边位置
①如 在第一象限,在其上任取一点 , ,则
,
②如 在第三象限,在终边上任取一点 ,则
,
(2)若 ,不妨令 ,则 在第二角限
∴
(3)在 终边上任取一点 ,因为 与 终边相同,故 也为角 终边上一点,所以 成立.
说明:以后会知道,求三角函数值的方法有多种途径.用定义求角 的三角函数值,是基本方法之一.当角终边不确定时,要首先确定终边位置,然后再在终边上取一个点来计算函数值.
3.反馈训练
(1)若角 终边上有一点 ,则下列函数值不存在的是( ).
A. B. C. D.
(2)函数 的定义域是( ).
A. B.
C. D.
(3)若 , 都有意义,则 .
(4)若角 的终边过点 ,且 ,则 .
参考答案:(1)D;(2)B;(3) 或8,说明点 在半径为 的圆上;(4)-6.
4.本课小结
利用定义求三角函数值,首先要建立直角坐标系,角顶点和始边要按既定的位置设置.角 的三角函数定义式,其实是比例的化身,它的背后是相似形在支称着,不过这个定义具有一般性,如轴上角的三角函数,如果没有定义作为论据,欲求其函数性就不是很容易.
分类讨论(角位置)是三角函数求值过程中,使用频率非常高的一个数学思想,而分类标准往往是四个象限及四个坐标半轴.
课时作业:
1.已知角 的终边经过下列各点,求角 的六个三角函数值.
(1) (2)
2.计算
(1)
(2)
(3)
(4)
3.化简
(1)
(2)
(3)
(4)
参考答案:
1.(1) , ,
, ,
,
(2) , ,
, ,
,
2.(1)-2;(2)8;(3)-1;(4)
3.(1)0;(2) ;(3) ;(4)
教学设计示例(二)
任意角的三角函数 第二课时
教学目标:
1.根据任意角三角函数定义,归纳出三角函数在各象限的符号,并能根据角 的某种函数值符号,反馈出 可能存在的象限.
2.掌握诱导公式一,并能运用诱导公式把角 的三角函数值转化为 中角的三角函数值.
教学重点:
终边相同的角的同一三角函数值相等.
教学难点:
运用诱导公式把角 的三角函数值转化为 中角的三角函数值.
教学用具:
直尺、圆规、投影仪.
教学过程
1.设置情境
设角 均是第二象限角,依三角函数定义,为了求 的四个三角函数值,只要分别在 终边上取点 、 ,由比值 , , , ,及 , , , 可知,这两组比值虽然不一定相等,但由于 均在第二象限,故 同号, 同号,因而可见, 的正弦、余弦、正切、余切值,符号是对应相同时。那么,当 分别为一、三、四象限时,上述性质是否仍然成立呢?下面就可讨论这一问题.
2.探索研究
(1)三角函数值的符号
今后我们还要经常用到三角函数在各个象限的符号,由于从原点到角的终边上任意一点的距离 总是正值,根据三角函数定义可知,三角函数值符号取决于各象限内的坐标符号,请同学们分象限思考四个象限中三角函数值的符号.
观察六个三角函数,可发现 与 , 与 , 与 互为倒数,因此它们的符号规律相同.
当 在第一、二象限时, , ,所以 为正,而当 在第三、四象限时, , , 为负的.
同理 对于第一、四象限角是正的,而对于第二、三象限的角是负的.
与 ,当 在第一、三象限时, 与 同号,所以 , ,而当 在第二、四象限时, 与 异号, , .
现在我们将以上讨论结果整理成图1.
图1
可以表达为正弦和余割上正下负,余弦与正割左负右正,正切与余切一、三象限为正,二、四象限为负.同学们还可以自己用口诀“全正, 正, 正, 正”来记忆.
(2)诱导公式一
上节课我们已学过同终边的角,例如 和 都与 终边位置相同.
∵
∴由三角函数定义可知它们的三角函数值相同,即
推广到一般情形,我们可得到诱导公式一:终边相同的角的同一三角函数值相等,即
|
这组公式的作用是可把任意角的三角函数值问题转化为0~360°角的三角函数值问题.
(3)例题分析
【例1】确定下列三角函数值符号:
(1) ;(2) ;(3)
解:(1)
(2)
(3)∵ 是第四象限角,∴
【例2】求证角 为第三象限角的充分必要条件是 , .
证明:
必要性:当 为第三象限角时, , ;
充分性:∵ 成立,∴ 角的终边可能位于第三或第四象限,也可以位于 轴的非正半轴上;又∵ 成立,∴ 角的终边可能位于第一或第三象限,因为要同时成立,所以 角的终边只可能位于第三象限,于是角 为第三象限角.
【例3】求下列三角函数值:
(1) ;(2) ;(3) .
解:(1)
(2)
(3)
【例4】如果 在第二象限,则 的值是什么符号?
解:∵ 在第二象限,∴
∴ , ∴
【例5】若 是第二象限的角,且 ,问 是第几象限角?
解:∵ 是第二角限的角,
∴
∴
∴ 终边在第一或第三象限角,
又∵ ∴
故 是第三象限的角.
【例6】求值:
解:原式
3.反馈练习
(1)已知 是第三象限角且 ,则( )
A. B. C. D.
(2)下列各式为正号的是( )
A. B.
C. D.
(3)若 有意义,则 是( )
A.第一象限角 B.第四象限角
C.第一或第四象限角 D.第一或第四或 轴正半轴
(4)已知 的终边过点 ,且 , ,则 的取值范围是_____.
(5)函数 的值域是_____________.
参考答案:(1)B;(2)C;(3)C;(4) ;(5)
4.本课小结
(1)确定三角函数定义域时,主要应抓住三角函数定义中,比值的分母不得为零这一制约条件,当终边落在坐标轴上时,终边上任一点 的坐标中,必有一分量为0,故相应有一比值无意义.
(2) 时, , 无意义,这两个函数定义域为
课时作业:
1.确定下列三角函数值的符号
(1) (2) (3)
(4) (5) (6)
2.求值
(1)
(2)
参考答案:
1.(1)<0 (2)<0 (3)<0 (4)>0 (5)<0 (6)<0
(2)解:(1)原式
(2)原式