第三节 任意角的三角函数
例1 若角 的终边经过点 ,试求 的六个三角函数值和角 的集合 ,并求出集合 中绝对值最小的角.如图所示.
分析:应先找出 的值.
解:∵ , ,
∴ .
则 ,
,
,
,
, .
又∵ ,
∴ .
.
故 中绝对值最小的角是 .
说明:此例是典型的考查定义的题.
例2 已知角 的终边上一点 ,( )求角 的六个三角函数值.
分析:与上例一样,应先求出 及 .
解:∵ ,
则 ,
∴ , , ,
, , .
说明:此类题目应用定义解,但若此类题目没有给出 的取值范围,要分类讨论求解.
例3 当 为第二象限角,试求 的值.
分析:应先由 为第二象限角这一条件求出绝对值再求值.
解:当 为第二象限角时, , ,
故 .
说明:此类题目旨在考查对符号的判定.
例4 若 ,且 ,试确定 所在的象限.
分析:用不等式表示出 ,进而求解.
解:∵ ,∴ 在第一或第二象限,即
.
则 .
当 ,有
.
当 ,有
.
故 为第一或第三象限.
又由 ,可知 在第二或第三象限.
综上所述, 在第三象限.
说明:应注意在求此题的最终解答时,要找出 所在有关集合的交集.
例5 计算:
(1) ;
(2) .
分析:应利用课本中给出的公式以及由此推得的下列公式化简求值.
;
;
.
解:(1)原式
.
(2)原式
.
说明:应对特殊角的三角函数值熟练掌握,以便准确应用.
例6 已知 为锐角,试证: .
分析:应在角 的终边上任取一点,应用三角函数的定义来解之.
证明:在角 的终边上任取一点 (异于原点),则
, .
∵ 为锐角,∴ , .
,
又 .
故 .
说明:(1)本例中,运用三角函数的定义,将三角函数表示为比例,从而将三角问题转化为代数问题而获解,这是一种十分重要的解题方法,应引起重视.
(2)本例中,应用了 , .这种基本的不等关系应熟悉.