第六节 平面向量的数量积及运算律
教学设计示例(第一课时)
一、教学目标
1.正确理解平面向量的数量积的概念,能够运用这一概念求两个向量的数量积,并能根据条件逆用等式求向量的夹角;
2.掌握平面向量的数量积的重要性质,并能运用这些性质解决有关问题;
3.通过平面向量的数量积的重要性质猜想与证明,培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力;
4.通过平面向量的数量积的概念,几何意义,性质的应用,培养学生的应用意识.
二、教学重点 平面向量的数量积概念、性质及其应用
教学难点 平面向量的数量积的概念,平面向量的数量积的重要性质的理解.
三、教学具准备
直尺,投影仪
四、教学过程
1.设置情境
师:我们学过功的概念:即一个物体在力 的作用下产生位移 ,那么力 所做的功: ,其中 表示一个什么角度?
表示力 的方向与位移 的方向的夹角.
我们对上述物理意义下的“功”概念进行抽象,就一般向量 、 ,来规定 的含义。
2.探索研究
(l)已知两个非零向量 和 ,在平面上任取一点 ,作 , ,则 叫做向量 与 的夹角.你能指出下列图中两向量的夹角吗?
① 与 的夹角为 ,② 与 的夹角为 ,③ 与 的夹角是 ,④ 与 的夹角是 .
(2)下面给出数量积定义:
师:(板书)已知两个非零向量 和 ,它们的夹角为 ,我们把数量 ,叫做向量 与 的数量积或(内积)记作 即
并规定
师:在平面向量的数量积的定义中,它与两个向量的加减法有什么本质区别.
生:向量的数量积结果是一个数量,而向量的加法和减法的结果还是一个向量.
师:你能从图中作出 的几何图形吗? 表示的几何意义是什么?
生:如图,过 的终点 作 的垂线段 ,垂足为 ,则由直角三角形的性质得:
所以 叫做向量 在向量 上的投影, 叫做 在 上的投影.
师:因此我们得到 的几何意义:向量 与 的数量积 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的积.
注意:1°投影也是一个数量,不是向量。
2°当q为锐角时投影为正值;
当q为钝角时投影为负值;
当q为直角时投影为0;
当q = 0°时投影为 |b|;
当q = 180°时投影为 -|b|。
向量的数量积的几何意义:
数量积a×b等于a的长度与b在a方向上投影|b|cosq的乘积。
(3)下面讨论数量积的性质:
(每写一条让学生动手证一条)设 , 都是非零向量, 是与 的方向相同的单位向量, 是 与 的夹角,则
①
②
③当 与 同向时, ,当 与 反向时, 。
特别地
④
⑤
3.演练反馈(投影)
(通过练习熟练掌握性质)
判断下列各题是否正确
(1)若 ,则对任意向量 ,有 ( )
(2)若 ,则对任意非零量 ,有 ( )
(3)若 ,且 ,则 ( )
(4)若 ,则 或 ( )
(5)对任意向量 有 ( )
(6)若 ,且 ,则 ( )
参考答案:(l)√,(2)×,(3)×,(4)×,(5)√,(6)×.
4.总结提炼
(l)向量的数量的物理模型是力的做功.
(2) 的结果是个实数(标量)
(3)利用 ,可以求两向量夹角,尤其是判定垂直。
(4)二向量夹角范围 .
(5)五条属性要掌握.
五、板书设计
课题 1.“功”的抽象 2.数量积的定义 3.(5)条性质 (1) (2) (3) (4) (5) |
4.演练反馈 5.总结提炼 |
教学设计示例(第二课时)
一、教学目标
1.掌握平面向量的数量积的运算律,并能运用运算律解决有关问题;
2.掌握向量垂直的充要条件,根据两个向量的数量积为零证明两个向量垂直;由两个向量垂直确定参数的值;
3.了解用平面向量数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题;
4.通过平面向量的数量积的重要性质及运算律猜想与证明,培养学生的探索精神和严谨的科学态度以及实际动手能力;
5.通过平面向量的数量积的概念,几何意义,性质及运算律的应用,培养学生的应用意识.
二、教学重点 平面向量的数量积运算律,向量垂直的条件;
教学难点 平面向量的数量积的运算律,以及平面向量的数量积的应用.
三、教学具准备
投影仪
四、教学过程
1.设置情境
上节课,我们已经给出了数量积的定义,指出了它的(5)条属性,本节课将研究数量积作为一种运算,它还满足哪些运算律?
2.探索研究
(1)师:什么叫做两个向量的数量积?
生: ( 与 向量的数量积等式 的模 与 在 的方向上的投影 的乘积)
师:向量的数量积有哪些性质?
生:(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
师:向量的数量积满足哪些运算律?
生(由学生验证得出)
交换律:
分配律:
师:这个式子 成立吗?(由学生自己验证)
生: ,因为 表示一个与 共线的向量,而 表示一个与 共线的向量,而 与 一般并不共线,所以,向量的内积不存在结合律。
(2)例题分析
【例1】求证:
(1)
(2)
分析:本例与多项式乘法形式完全一样。
证:
注: (其中 、 为向量)
答:一般不成立。
【例2】已知 , , 与 的夹角为 ,求 .
解:∵
注:与多项式求值一样,先化简,再代入求值.
【例3】已知 , 且 与 不共线,当且仅当 为何值时,向量 与 互相垂直.
分析:师:两个向量垂直的充要条件是什么?
生:
解: 与 互相垂直的充要条件是
即
∵
∴
∴
∴ 当且仅当 时, 与 互相垂直.
3.演练反馈(投影)
(1)已知 , 为非零向量, 与 互相垂直, 与 互相垂直,求 与 的夹角.
(2) , 为非零向量,当 的模取最小值时,
①求 的值;
②求证: 与 垂直.
(3)证明:直径所对的圆周角为直角.
参考答案:
(1)
(2)解答:①由
当 时 最小;
②∵
∴ 与 垂直.
(3)如图所示,设 , , (其中 为圆心, 为直径, 为圆周上任一点)
则
∵ ,
∴ 即 圆周角
4.总结提炼
(l)
(2)向量运算不能照搬实数运算律,如结合律数量积运算就不成立.
(3)要学会把几何元素向量化,这是用向量法证几何问题的先决条件.
(4)对向量式不能随便约分,因为没有这条运算律.
五、板书设计
课题: 1.数量积性质 2.数量积运算律 |
例题 1 2 3 |
演练反馈 总结提炼 |