第六节 平面向量的数量积及运算律
例1.已知 、 、 是三个非零向量,则下列命题中真命题的个数为( )
① ; ② 、 反向
③ ; ④
A.1 B.2 C.3 D.4
分析:需对以上四个命题逐一判断,依据有两条,一是向量数量积的定义;二是向量加法与减法的平行四边形法则.①中∵ ,∴由 及 、 为非零向量可得 ,∴ 或 ,∴ 且以上各步均可逆,故命题①是真命题.②中若 、 反向,则 、 的夹角为 ,∴ 且以上各步均可逆,故命题②是真命题.③中当 时,将向量 、 的起点确定在同一点,则以向量 、 为邻边作平行四边形,则该平行四边形必为矩形,于是它的两对角线长相等,即有 .反过来,若 ,则以 、 为邻边的四边形为矩形,所以有 ,因此命题③是真命题.④中当 但 与 的夹角和 与 的夹角不等时,就有 ,反过来由 也推不出 .故命题④是假命题.
[答案]C
小结:(1)两向量同向时,夹角为0(或 );而反向时,夹角为 (或 );两向量垂直时,夹角为 .因此当两向量共线时,夹角为0或 ,反过来若两向量的夹角为0或 ,则两向量共线.
(2)对于命题④我们可以改进为: 既不是 的充分条件也不是必要条件.
例2.已知 , ,当(l) (2) ,(3) 与 的夹角为 时,分别求 与 的数量积。
分析:已知 与 ,求 ,只需确定其夹角 ,须注意到 时,有 和 两种可能。
解:(1) ,若 与 同向,则 ,
∴ ;
若 与 反向,则 ,
∴ ,
(2)当 时, ,
∴ ,
(3)当 与 的夹角为 时,
.
小结:(1)对于数量积 ,其中 的取值范围是 ;
(2)非零向量 和 , ;(3)非零向量 和 共线的充要条件是 .
例3.设 ,则 与 的夹角 的余弦值为_____.
分析:要求夹角需先求出 的值。
解: , .把 代入得 .由 ,得 于是 .
小结:本题涉及了平面向量的数量积的概念,性质 以及有关运算律,体现了较强的综合性.
例4.已知 ,当 时,求实数 的值.
分析:求一个实数的值,运用方程的思想,建立一个方程,通过解方程使问题得解.
解: , . , ,即 , ※.把 , 代入※式,得
例5.用向量方法证明:正方形的对角线互相垂直.
分析:运用数量积为零来证明.
证明:设正方形为 ,对角线为 和 ,以下只需证明 .
, ,
.
正方形 中,
,
,即对角线互相垂直.
小结:本题意在让学生了解用数量积证明平面几何中的垂直问题,
例6.已知非零向量 和 夹角为 ,且 ,求证: .
分析:欲证两个向量垂直只需证明它们的数量积为零.
证明:因为 和 夹角为 ,所以 ;又因为 ,所以 ,即 , , 即 .因为 ,把 代入上式消去 得 .所以 .
小结:这也是垂直的证明问题,但不是从平面几何的角度,而是直接从数量积的角度给出条件,再运用数量积的有关知识解决问题.
例7. 如图,已知 中, 是直角, , 是 的中点, 是 上的一点,且 . 求证: .
分析:借助向量垂直的充要条件解题,即证明 .
证明:设此等腰直角三角形的直角边长为 ,则
.
所以 .
小结:用向量方法证明几何问题时,一般应把已知和结论转化成向量的形式,再通过相应的向量运算完成证明,不难发现,利用实数与向量的积可证明共线、平行、长度关系等方面的几何问题,利用向量的数量积可解决长度关系、角度、垂直等几何问题。