第六节 曲线和方程

教学设计示例

课题：求曲线的方程（第一课时）

教学目标：

　　（1）了解坐标法和解析几何的意义，了解解析几何的基本问题．

　　（2）进一步理解曲线的方程和方程的曲线．

　　（3）初步掌握求曲线方程的方法．

　　（4）通过本节内容的教学，培养学生分析问题和转化的能力．

教学重点、难点：求曲线的方程．

教学用具：计算机．

教学方法：启发引导法，讨论法．

教学过程：

【引入】

1．提问：什么是曲线的方程和方程的曲线．

　　学生思考并回答．教师强调．

2．坐标法和解析几何的意义、基本问题．

　　对于一个几何问题，在建立坐标系的基础上，用坐标表示点；用方程表示曲线，通过研究方程的性质间接地来研究曲线的性质，这一研究几何问题的方法称为坐标法，这门科学称为解析几何．解析几何的两大基本问题就是：

　　（1）根据已知条件，求出表示平面曲线的方程．

　　（2）通过方程，研究平面曲线的性质．

　　事实上，在前边所学的直线方程的理论中也有这样两个基本问题．而且要先研究如何求出曲线方程，再研究如何用方程研究曲线．本节课就初步研究曲线方程的求法．

【问题】

　　如何根据已知条件，求出曲线的方程．

【实例分析】

　　例1：设 、 两点的坐标是 、（3，7），求线段 的垂直平分线 的方程．

　　首先由学生分析：根据直线方程的知识，运用点斜式即可解决．

　　解法一：易求线段 的中点坐标为（1，3），

　　由斜率关系可求得l的斜率为

　　于是有

　　即l的方程为

       ①

　　分析、引导：上述问题是我们早就学过的，用点斜式就可解决．可是，你们是否想过①恰好就是所求的吗？或者说①就是直线 的方程？根据是什么，有证明吗？

　　（通过教师引导，是学生意识到这是以前没有解决的问题，应该证明，证明的依据就是定义中的两条）．

　　证明：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解．

　　设 是线段 的垂直平分线上任意一点，则

          即

　　将上式两边平方，整理得

　　这说明点 的坐标 是方程 的解．

　　（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

　　设点 的坐标 是方程①的任意一解，则

        到 、 的距离分别为



　　　　

　　　　



　　　　

　　　　

     所以 ，即点 在直线 上．

     综合（1）、（2），①是所求直线的方程．

    至此，证明完毕．回顾上述内容我们会发现一个有趣的现象：在证明（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解中，设 是线段 的垂直平分线上任意一点，最后得到式子 ，如果去掉脚标，这不就是所求方程 吗？可见，这个证明过程就表明一种求解过程，下面试试看：

　　解法二：设 是线段 的垂直平分线上任意一点，也就是点 属于集合

　　由两点间的距离公式，点所适合的条件可表示为

　　将上式两边平方，整理得

　　果然成功，当然也不要忘了证明，即验证两条是否都满足．显然，求解过程就说明第一条是正确的（从这一点看，解法二也比解法一优越一些）；至于第二条上边已证．

　　这样我们就有两种求解方程的方法，而且解法二不借助直线方程的理论，又非常自然，还体现了曲线方程定义中点集与对应的思想．因此是个好方法．

　　让我们用这个方法试解如下问题：

　　例2：点 与两条互相垂直的直线的距离的积是常数 求点 的轨迹方程．

　　分析：这是一个纯粹的几何问题，连坐标系都没有．所以首先要建立坐标系，显然用已知中两条互相垂直的直线作坐标轴，建立直角坐标系．然后仿照例1中的解法进行求解．

　　求解过程略．

【概括总结】通过学生讨论，师生共同总结：

　　分析上面两个例题的求解过程，我们总结一下求解曲线方程的大体步骤：

　　首先应有坐标系；其次设曲线上任意一点；然后写出表示曲线的点集；再代入坐标；最后整理出方程，并证明或修正．说得更准确一点就是：

　　（1）建立适当的坐标系，用有序实数对例如 表示曲线上任意一点 的坐标；

　　（2）写出适合条件 的点 的集合

；

　　（3）用坐标表示条件 ，列出方程 ；

　　（4）化方程 为最简形式；

　　（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．

　　一般情况下，求解过程已表明曲线上的点的坐标都是方程的解；如果求解过程中的转化都是等价的，那么逆推回去就说明以方程的解为坐标的点都是曲线上的点．所以，通常情况下证明可省略，不过特殊情况要说明．

　　上述五个步骤可简记为：建系设点；写出集合；列方程；化简；修正．

　　下面再看一个问题：

　　例3：已知一条曲线在 轴的上方，它上面的每一点到 点的距离减去它到 轴的距离的差都是2，求这条曲线的方程．

　　【动画演示】用几何画板演示曲线生成的过程和形状，在运动变化的过程中寻找关系．

　　解：设点 是曲线上任意一点， 轴，垂足是 （如图2），那么点 属于集合

　　由距离公式，点 适合的条件可表示为

          ①

　　将①式 移项后再两边平方，得

　　化简得

　　由题意，曲线在 轴的上方，所以 ，虽然原点 的坐标（0，0）是这个方程的解，但不属于已知曲线，所以曲线的方程应为 ，它是关于 轴对称的抛物线，但不包括抛物线的顶点，如图2中所示．

【练习巩固】

　　题目：在正三角形 内有一动点 ，已知 到三个顶点的距离分别为 、 、 ，且有 ，求点 轨迹方程．

　　分析、略解：首先应建立坐标系，以正三角形一边所在的直线为一个坐标轴，这条边的垂直平分线为另一个轴，建立直角坐标系比较简单，如图3所示．设 、 的坐标为 、 ，则 的坐标为 ， 的坐标为 ．

　　根据条件 ，代入坐标可得

　　化简得

             ①

　　由于题目中要求点 在三角形内，所以 ，在结合①式可进一步求出 、 的范围，最后曲线方程可表示为

 

【小结】师生共同总结：

　　（1）解析几何研究研究问题的方法是什么？

　　（2）如何求曲线的方程？

　　（3）请对求解曲线方程的五个步骤进行评价．各步骤的作用，哪步重要，哪步应注意什么？

【作业】课本第72页练习1，2，3；

【板书设计】