第六节 曲线和方程
例1:如果命题“坐标满足方程 的点都在曲线 上”不正确,那么以下正确的命题是
(A)曲线 上的点的坐标都满足方程 .
(B)坐标满足方程 的点有些在 上,有些不在 上.
(C)坐标满足方程 的点都不在曲线 上.
(D)一定有不在曲线 上的点,其坐标满足方程 .
分析:举例,若方程为 ,曲线为第一、三象限角平分线,易知答案为D.
例2:求到两条垂直相交直线的距离之和等于定值的点的轨迹方程,并指出图形的形状.
解:以两条垂直相交直线为坐标轴,建立直角坐标系.设点 ,由点 分别向两条坐标轴作垂线,垂足分别为 、 ,依题意,可得 ( 为常数)
进而式
当 , 时, ;
当 , 时, ;
当 , 时, ;
当 , 时, ;
图形是以 , , , 为顶点的正方形,如图1所示.
例3:已知一条曲线上的每一点到点 的距离都是它到点 的距离的一半,求这条曲线的方程.
解:设 是曲线上任意一点,则
代入坐标有
化简得曲线方程为
.
例4:已知两定点 、 ,一动点 与 、 连线的夹角为 ,求动点 的轨迹方程.
解:设 ,由夹角公式有
即
化简得
(1)当 时, ;
(2)当 时, .
例5:过 点作两条互相垂直的直线 , ,若 交 轴于 , 交 轴于 ,求线段 中点 的轨迹方程.
解:连接 ,设 ,则 , .
∵
∴ 为直角三角形.
由直角三角形性质知
即
化简得 的轨迹方程为
说明:本题也可以用勾股定理求解,还可以用斜率关系求解,因此本题可有三种解法.用斜率求解的过程要麻烦一些.