第六节 曲线和方程

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奇妙的坐标系

　　在一条直线上，确定任何一个点的位置，我们可以将这条直线刻成一条数轴，任何一点在这条数轴上都有惟一确定的实数作为它的坐标．那么在一张平面上，确定任何一点的位置，该怎么办呢？
　　我们可以在平面上画两条互相垂直的数轴，一条水平，一条竖直，它们的交点为公共原点，水平向右和竖直向上分别为两条数轴的正向．那么，平面上任何一点，可以向这两条数轴作垂线，两个垂足的坐标就可以确定该点的位置，不同的点有不同的两个坐标．我们画的这两条互相垂直的数轴，就构成通常所成的“笛卡尔直角坐标系”．
　　在这种坐标系之前冠以“笛卡尔”，是为了纪念笛卡尔为此做出的贡献．笛卡尔（Rene Descartes,1596~1650）是法国17世纪的哲学家、数学家、生理学家，近代科学方法论的创始人，也是解析几何的创立者．笛卡尔长期潜心钻研哲学问题，认为科学的本质是数学的，自然界定律是预先规定的数学图景的一部分．然而，笛卡尔对当时的几何学并不满意，他认为“它只能是人们在想象力大大疲乏的情况下，去练习理解能力”；他对当时的代数学也不满意，认为它“似乎充满混杂、晦涩、阻碍思想的东西，不像一门改进思想的科学”．进而，笛卡尔宣称“我想应当去寻求另外一种包括这两门科学优点而不含它们缺点的方法”．1637年6月8日，笛卡尔匿名出版了《科学中正确运用理性和追求真理的方法论》一书，书后附上仅17页的《几何学》，它标志着一个新的数学分支的诞生，这就是当时所谓的“坐标几何”，亦即现在的“解析几何”．
　　在《几何学》中，笛卡尔引用“变量”这个概念，并建立平面上的坐标系．他是在解决作图问题时，把坐标平面上的“点”与作为坐标的有序“数对”对应起来，再把平面上的“曲线”与含有两个未知量的“方程”对应起来．最重要的是点与坐标的对应，流动的坐标就是变量，方程既表示已知量与未知量之间的关系，又确定了变量之间的关系．所有这些都依赖于建立平面上的坐标系．不过，笛卡尔当时的坐标系并不象现在这样明确，他还没有考虑坐标的负值，纵坐标往往不固定地标明，而是随意地沿着与横坐标某固定方向画出来，纵、横坐标轴也未必成直角．并且，整个坐标系隐匿于作图方法中．
　　与笛卡尔分享创立解析几何殊荣的是法国数学家费马（Femat,1601～1665）．他所创建的坐标系比笛卡尔的坐标系更为明显．大量资料表明，费马不仅掌握了坐标方法的原理，而且还掌握了运用移轴或转轴以简化曲线方程的技巧．
　　笛卡尔、费马创立的坐标系虽然都很不完善，但是其意义确是划时代的，它使数与形能统一起来研究．此后人们获得了沟通几何与代数的新思路，新方法．　　　　1665年英国数学家沃利斯首先有意识地引进负的纵、横坐标，改进了笛卡尔、费马的坐标系，并且得到完整的圆锥曲线的方程，用这些方程直接推导出圆锥曲线的几何性质，充分显示出坐标系奇妙的作用，也大大有助于笛卡尔、费马的解析几何思想的传播．
　　牛顿在他的老师沃利斯的影响下，多次运用坐标系，按曲线的方程来描述曲线，而且提出了建立新的坐标系的创见．牛顿坐标系就是现在的极坐标系．极坐标系的创立为数学研究做出了巨大的贡献．由于牛顿的这一开创性工作在詹姆士·伯努力发表相关论文之后才为世人所知，所以人们都称伯努力为极坐标系的发明者．
　　牛顿还发明了“双极坐标系”．与此相应的笛卡尔坐标系可称为“双轴坐标系”．此后，德国数学家麦比乌斯沿此思路发明了“三级坐标系”；另一位德国数学家普吕克发明了“三轴坐标系”．再后来有更多的数学家发明了更多的、各式各样的坐标系，这些坐标系的建立给数学研究提供了极大的方便，极大地发展了解析几何的思想，也促进了近代和现代数学的蓬勃发展．

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