第一节 平面

教学建议

（一）教材分析

1．  知识结构

2．重点难点分析

　　重点：平面的有关概念和基本性质；难点：建立空间概念，正确应用符号语言．

　　（1）平面和点、直线一样是构成空间图形的基本要素之一，是一个只描述而不定义的原始概念．本节内容主要介绍了平面的有关概念及其基本性质（三个公理和三个推论）．平面的基本性质是研究空间图形的基本理论基础，是立体几何的基础核心，因而是本节内容的重点．本节的难点是准确理解平面的有关概念及其基本性质，建立空间概念，正确使用图形、符号、文字三种数学语言并能互译．

　　（2）如何理解“平面四边形表示的平面是无限延展的”？这是因为立体几何中表示平面是采用“用有限的图形表示无限的平面”的方法．事实上，如果一条直线上有两个点在一个用平行四边形表示的平面内，根据公理1,这条直线上所有的点都落在这个平面内．而直线是无限延伸的，倘若这个平面是有限的，那么无限的直线上的所有点怎么能都在有限平面内呢？对于平面的概念注意从三个方面加深理解：无边界性、无限延展性、无厚薄性．

　　（3）平面的基本性质是研究立体几何的基本理论基础，学习时应切实注意以下几点：

　　①会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述三个公理；

　　②熟悉三个公理的作用．公理1是判定直线在平面内的依据，亦作为判定点在平面内的方法使用；公理2是判定两个平面相交的依据，亦作为判定几个点在两个相交平面的交线上（共线）的方法使用；公理3是确定一个平面的依据，亦作为判定几个点共面的依据．

　　③学习公理3及三个推论时务必透彻理解“有且只有一个”的含义．“有且只有一个”是由“有一个”和“只有一个”复合而成的，其中前者说明对象是存在的，后者说明对象是唯一的．“有且只有一个”说明对象具有存在性和唯一性两个方面．数学中的一些对象具有存在性和唯一，也有一些对象具有存在性而无唯一性，如与给定的三角形 相似的三角形是存在的，但不是唯一的．当然，还有一些对象没有存在性，从而也就谈不上有唯一性．因此切不可用“只有一个”代替“有且只有一个”．

　　（4）共面问题的证明常用同一法，同一法指的两个互逆命题，若其中一个成立，则另一个也成立，即两个互逆命题是等价的，例如，我们要证明“某个图形具有某种特性”只要证明“具有某种特征的图形是某个图形”即可．同一法是间接证题方法．

（二）教法建议

　　（1）本节是立体几何学习的基础．学习时应充分联系生活中的实例，充分利用实物，尽快建立空间观念．

　　联系实际提出问题和引入概念，合理运用教具，加强由模型到图形，再由图形返回模型的基本训练．由对照模型画直观图入手，逐步培养由图形想象出空间位置关系的能力．

　　（2）教学中应注意借助学生已有的平面图形知识基础，引入新知识，提出新问题，使学生自然地进入新的学习阶段．

　　联系平面图形的知识，利用对比、引申、联想等方法，找出平面图形和立体图形的异同，以及两者的内在联系，逐步培养学生将立体图形转化为平面图形的能力．

　　（3）在学习平面概念时，对平面的无限延展性，可以让学生联系直线的无限延伸性理解，平面是向四周无限延展的，平面把空间分成两部分；

　　在画平面时，有时根据具体需要，也可用其他的平面图形，如菱形、封闭的曲线图形等表示；

　　（4）从图形入手，有序地建立图形、文字、符号这三种数学语言的联系．

　　用文字和符号描述对象时，必须紧密联系图形，使抽象与直观结合起来，即在图形的基础上发展其他数学语言．在阐述定义、定理、公式等重要内容时，先结合图形，再用文字和符号进行描述，综合运用几种数学语言，使其优势互补，就有可能收到更好的效果，给学生留下的印象更为深刻．

　　（5）对于公理1,可先讨论直线与平面的公共点的个数的各种情况，以区分直线与平面的三种位置关系：相交、平行、直线在平面内，并用直线的伸展性理解平面的延展性；对于公理2,可先讨论两个平面的公共点个数的各种情况，以区分两平面的两种位置关系：相交和平面，并体会直线与平面的关联；对于公理3及其3个推论，应从“有一个（至少有一个）平面”和“只有一个（至多有一个）平面”两方面去理解．

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