第一节 平面

典型例题

　　例1 三条直线两两相交，由这三条直线所确定平面的个数是（      ）

　　A．1        B．2        C．3         D．1或3

　　分析  本题显然是要应用推论2判断所能确定平面的个数，需要在空间想象出这三条直线所有不同位置的图形，有如下图的三种情况（如图）：

　　答案：D．

　　说明  本题启发我们考虑问题不要只局限于平面图形，应养成在三维空间考虑问题的习惯．

　　例2 一条直线与三条平行直线都相交，求证这四条直线共面．

　　分析  先将已知和求证改写成符号语言．证明诸线共面，可先由其中的两条直线确定一个平面，然后证明其余的直线均在此平面内．也可先由其中两条确定一个平面 ，另两条确定平面 ，再证平面 ， 重合．

　　已知： ， ， ， ．

　　求证：直线 ， ， ， 共面．

　　证明  ∵  ，

　　∴  ， 确定一个平面 ．

　　∵  ， ，

　　∴  ， ，故 ．

　　又  ∵  ， ∴  ， 确定一个平面 ．

　　同理可证 ．

　　∴  ，且 ．

　　∵  过两条相交直线 ， 有且只有一个平面，故 与 重合

　　即直线 ， ， ， 共面．

　　说明  本例是新教材第9页第9题的一个简单推广，还可推广到更一般的情形．本例证明既采用了归一法，同时又采用了同一法．这两种方法是证明线共面问题的常用方法．在证明 时，也可以用如下反证法证明：

　　假设直线 ，则 一定与 相交，此时直线 与 内的所有直线都不会平行，这显然与 矛盾．故 ．

　　例3 已知 在平面 外，它的三边所在的直线分别交平面 于 ， ， 三点，证明 ， ， 三点在同一条直线上．

　　分析  如图所示，欲证 ， ， 三点共线，只须证 ， ， 在平面 和平面 的交线上，由 ， ， 都是两平面的公共点而得证．

　　证明：

　　∵  ， ，

　　∴  是平面 与平面 的交线．

　　又  ∵  ，

　　∴   且 平面 ，

　　∴  ，

　　∴  ， ， 三点共线．

　　说明  证明点共线的一般方法是证明这些点是某两个平面的公共点，由公理2，这些点都在这两平面的交线上．

　　例4 如图所示， 与 不在同一个平面内，如果三直线 、 、 两两相交，证明：三直线 、 、 交于一点．

　　分析  证明三线共点的一般思路是：先证明两条直线交于一点，再证明该点在第三条直线上即可．

　　证明  由推论2，可设 与 ， 与 ， 与 分别确定平面 ， ， ．

　　取 ，则 ， ．

　　又因 ，则 （公理2），

　　于是 ，

　　故三直线 、 、 共点．

　　说明  空间中证三线共点有如下两种方法：

　　（1）先确定两直线交于一点，再证该点是这两条直线所在两个平面的公共点，第三条直线是这两个平面的交线，由公理2，该点在它们的交线上，从而得三线共点．

　　（2）先将其中一条直线看做是某两个平面的交线，证明该交线与另两直线分别交于两点，再证这两点重合．从而得三线共点．