第一节 平面

空间图形的作图

　　在平面几何中，一般的几何图形都能够利用适当的工具（例如直尺、圆规等），在平展的平面上实际作出，但是空间图形作图却与它不同．例如，在空间里“过两点作一直线”不是可用直尺简单作图的，更何况空间图形作图还多了一个新元素—平面，要在空间作平面，是不能像在平面内作直线那样，有方便的方法和工具的．不仅如此，在二维的平面上，画出三维空间图形的真实形象，一般说来，是不可能的．因此，空间作图，并不要求人们像制作模型那样完成实际的作图，而是进行所谓的逻辑作图．

逻辑作图  空间作图是否可行，取决于所求作元素能否归结为空间的可作元素类．所谓空间的可作元素类，有：

　　1．在作图题中的所有已知元素．

　　2．在空间中的任意一点．

　　3．由不共线的三个可作点确定的平面．

　　4．两个可作平面的交线．

　　5．在一个可作平面内，所有的平面几何能作图的元素．

　　6．已知球心及半径的球面．

　　空间的几何作图是否可行，取决于所求作元素能否归结为上述的可作元素类，而且，作图次数必须是有限的．在空间的作图题中，重要的是逻辑层次及推理．

　　以上六种可作元素类，实际上也是空间几何作图的规则，由这六条作图规则，又可导出一系列可作的基本图形，作为更复杂的几何作困的逻辑依据．例如：

　　（1）根据第五条有：连结空间任意两点的直线或线段可作．

　　（2）根据第二条，自然可任取两点，任取不共线的三点，进而根据第五条、第三条有：在空间任意作一条直线或任意作一个平面．

　　（3）因为过一直线及线外一点、过两条相交直线、过两条平行直线作平面，都可归结为过不共线的三点作平面，故有：

　　根据确定平面的条件，可作平面．

　　例  过异面直线中的一条直线 ，作一个平面平行于另一条直线 ．

　　如图所示，在直线 上任取一点 （第二条规则），过直线 与线外一点 作平面 （根据确定平面的条件作平面），在平面 内作直线 （第五条规则），过相交直线 与 作平面 （根据确定平面的条件作平面）．则平面 即为所求．

　　由此例可以看出，上述可作元素起着公理作用，有的书称为作图公法．空间作图中，重要的是逻辑层次，每一作图问题，只要归结为可作元素的有限次结合，就认为作图已经完成，这就是通常所说的逻辑作图或想象作图．

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