第二节 空间直线

教学建议

（一）教材分析

1．  知识结构

2．重点难点分析

　　重点是公理4和异面直线的概念，难点是空间异面直线的定义及其所成的角．

　　（1）空间两条直线的位置关系，既是研究直线和直线、直线和平面、平面和平面各种位置关系的开始，又是学习这些关系的基础，必须予以足够的重视．同时要摆脱以往平面的局限性，处处从空间来考虑问题．

　　（2）公理4“平行于同一条直线的两条直线互相平行”，说明把平行线的传递性推广到空间也能成立．这个公理是判断两直线平行的重要方法之一，其关键在于寻找联系所证两条平行直线的第三条直线．

　　（3）由于空间想象能力的水平不高，学生开始往往想象不出异面直线是什么样子，或者画不出图来．再加上异面直线这一概念容易和分别处于两个平面内的两条直线相混淆，所以异面直线的概念是学习中的难点．

　　理解异面直线的概念要特别注意“不同在任何一个平面内的两条直线”与“不在同一平面内的两条直线”的本质区别：“不同在任何一个平面内的两条直线”与“分别在某两个平面内的两条直线”的含义是有根本区别的．如图，虽然 、 分别在 、 内， ，过 、 可以作一个平面 ，使 、 在同一平面 内．

　　对于异面直线的概念这个重点和难点要着重明确如下几点：

　　①两条直线若异面，则必不能同在任何一个平面内．因此它们不相交也不平行．

　　②分别在某两个平面内的两条直线，不一定是异面直线．

　　③画异面直线时，以辅助平面作衬托，更为直观．

　　（4）常把定理“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等”叫做等角定理，这个定理的内容，在初中平面几何中已经介绍过．在这里又给出定理的证明，是告诉大家，凡是研究对象不共面时，平面几何的定理不再适用；反之，如果我们所研究的对象在同一平面内，那么平面几何的所有规定依然适用．等角定理主要解决了角在空间中的平移问题，这为后面建立异面直线所成角打下基础，并为解决异面直线角的问题提供了解题方法．

　　在学习等角定理时要注意：①如果一个角的两边与另一角的两边分别平行，但方向相反，那么这两角相等；②如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，有一组对边方向相同，有一组对边方向相反，那么这两个角互补．

　　（5）两条异面直线既然不相交，但它们之间又有一个角，这对于初学立体几何者来说，是较难理解的．实际上这个角是指这两条直线经过平移后处于相交位置时所成的锐角或直角，因此异面直线所成的角的范围是 ，要注意其中不含0弧度，课本上为避免初学者误认为此角是两异面直线相交而得，故不提“交角”而特别用了“所成的角”．

　　两条异面直线所成角的大小只由异面直线的位置来决定，而与 点的位置无关．所以为了便于计算出异面直线所成角的大小，常根据题目的需要把 点选在具有特殊的点上或特殊的直线上．

　　异面直线是相对于共面直线而言的．学习了异面直线的概念，就把对两直线间位置关系的研究推广到了更广阔的领域――空间，而异面直线的夹角又是对空间两直线位置关系进行精确描述的重要工具．

　　（6）两条异面直线的公垂线的定义要明确三点：即一垂直，二相交，三有且只有一条．若不相交，便没有交点，也就没有公垂线段，距离也就无从定义了．

（二）教法建议

　　（1）在引入异面直线这一概念时应充分联系生活中的实例，例如教室里天花板上和地板上两条不平行的墙的交线的位置关系；操场里跳高架上的横杆与竖直的电线杆的位置关系，等等，然后启发学生发现它们位置关系的特点是既不平行，也不相交，从而引出异面直线的概念．

　　（2）教师在讲解异面直线的概念时，为了让学生更好地理解“不同在任何一个平面内的两条直”，可以通过画图举例来说明，如下图，图1,2,3中两直线是异面直线，而图4中两条直线就不是异面直线，这样就比较容易与“不在同一平面内的两条直线”相区分．

　　在讲解概念中注意培养学生的图形语言理解和表达能力．（画异面直线除通常用一个或两个平面作衬托）

   

图1 　　　　　　　图2

        

图3 　　　　　　　图4

　　所以两条异面直线等价于这两条直线既不平行也不相交，因此异面直线的定义又可理解为“经过这两条直线无法作出一个平面”．

（3）教师要注意把直观印象与逻辑推理统一起来，并在平面几何的公理、定理的基础上，运用类比的方法，延拓得出相应的结论，再加以论证．

　　①平面几何中的平行线的传递性可推广到空间．

　　②讲解等角定理，可从平面几何的平行等角定理的结论和论证出发，来理解空间的等角定理的结论和论证．

（4）关于两条异面直线所成的角，讲解时要突出以下几点：

　　①将角的概念从“交角”拓广为“两直线的方向（或倾斜度）之间的差异”．如铁路桥上列车的奔驰方向与穿梭在大桥下的船队航行方向之间的差异就是很好的实例；

　　②利用空间平移的不变性，将异面直线平移到一个平面内，再用平移得到的锐角（或直角）的大小反映二异面直线方向上的差异，其大小与点 的位置无关；

　　③计算异面直线 ， 所成角的大小，按照定义法平移角，实际计算时，常将点 取在 或 上，往往只需平移一条直线即可．

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