第二节 空间直线
例1 若 , ,则 , 的位置关系是( )
A.异面直线 B.相交直线
C.平行直线 D.相交直线或异面直线
分析 判断两条直线的位置关系,可以通过观察满足已知条件的模型或图形而得出正确结论.
解:如图所示,在正方体 中,设 , ,则 .
若设 ,则 与 相交.若设 ,则 与 异面.
故选D.
说明:利用具体模型或图形解决问题的方法既直观又易于理解.一般以正方体、四面体等为具体模型.例如, , 相交, , 相交,则 , 的位置关系是相交、平行或异面.类似地; , 异面, , 异面,则 , 的位置关系是平行、相交或异面.这些都可以用正方体模型来判断.
例2 已知直线 和点 , ,求证:过点 有且只有一条直线和 平行.
分析:“有且只有”的含义表明既有又惟一,因而这里要证明的有两个方面,即存在性和惟一性.
存在性,即证明满足条件的对象是存在的,它常用构造法(即找到满足条件的对象来证明);惟一性,即证明满足条件的对象只有一个,换句话说,说是不存在第二个满足条件的对象.
因此,这是否定性命题,常用反证法.
证明:(1)存在性.
∵ ,∴ 和 可确定一个平面 ,
由平面几何知识知,在 内存在着过点 和 平行的直线.
(2)惟一性
假设在空间过点 有两条直线 和 满足 和 .根据公理4,必有 与 矛盾,
∴ 过点 有一条且只有一条直线和 平行.
说明:对于证明“有且只有”这类问题,一定要注意证明它的存在性和惟一性.
例3 如图所示,设 , , , 分别是空间四边表 的边 , , , 上的点,且 , ,求证:
(1)当 时,四边形 是平行四边形;
(2)当 时,四边形 是梯形.
分析:只需利用空间等角定理证明 即可.
证明:连结 ,
在 中, ,∴ ,且 .
在 中, ,∴ ,且 .
∴ ,
∴ 顶点 , , , 在由 和 确定的平面内.
(1)当 时, ,故四边形 为平行四边形;
(2)当 时, ,故四边形 是梯形.
说明:显然,课本第11页的例题就是本题(2)的特殊情况.
特别地,当 时, , , , 是空间四边形各边中点,以它们为顶点的四边形是平行四边形.
如果再加上条件 ,这时,平行四边形 是菱形.
例4 已知 是两条异面直线,直线 上的两点 的距离为6,直线 上的两点 的距离为8, 的中点分别为 且 ,求异面直线 所成的角.
分析:解题的关键在于依据异面直线所成角的定义构造成和异面直线 平行的两条相交直线,然后把它们归纳到某一三角形中求解.
解:如图,连结 ,并取 的中点 ,连结 ,
∵ 分别是 和 的中位线,
∴ , ,即
, .
∴ 所成的锐角或直角是异面直线 所成的角.
又∵ , ,
∴ , .
在 中,又∵ ,
∴ ,
∴ .
故异面直线 所成的角是 .
评注:在求两条异面直线所成的角时,一般要依据已知条件,找出与两条异面直线分别平行并且相交于一点的两条直线.但是,异面直线所成角的定义中的点 一般是在图形中存在着的,需要认真观察分析图形的性质,从而找出这一点和过这一点与两异面直线平行的直线,以得到两条异面直线所成的角,在求这个角的大小时,一般是根据平面图形中解三角形的知识求解的.
例5 已知四面体 的所有棱长均为 .求:
(1)异面直线 的公垂线段 及 的长;
(2)异面直线 和 所成的角.
分析:依异面直线的公垂线的概念求作异面直线 的公垂线段,进而求出其距离;对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解.
解:(1)如图,分别取 的中点 ,连结 .
由已知,得 ≌ .
∴ , 是 的中点,
∴ .
同理可证
∴ 是 的公垂线段.
在 中, , .
∴
.
(2)取 的中点 ,连结 ,则 .
∴ 和 所成的锐角或直角就是异面直线 和 所成的角.
连结 ,在 中, , , .
由余弦定理,得
.
∴ .
故异面直线 和 所成的角为 .
评注:对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决,同时要将转化过程简要地写出来,然后再求值.