第二节 空间直线

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数学思想与解题发现

　　数学思想的重要意义在于指导解题者进行有序的科学的探索活动，避免盲目性，为顺利发现解题方法提供保障．下述为课堂上学生对一道立体几何命题的解题方法的探求过程，也许有助于提高对该问题的认识，现录如下：

命题：对边平方和相等的空间四边形的对角线互相垂直．

探索一：回归定义，所成角为 ，作角计算，如图（1）分别取 的中点 ，则有 ， ，这样问题就演变为证明 为 ．因为题设为数量关系，故可考虑通过计算 的各边长来解决，记 的长分别为 ，则 ， ．在 和 中分别求出中线 和 的长，再进一步在 中求出中线 的长，比较 的关系即可解决问题．

图

探索二：遵循化归思想，该问题也可考虑构造平行四边形 （如图（2）），通过证 来证明其为矩形．遵循条件集中的原则取各棱中点并顺次连结（如图（2））构造四边形 和四边形 ，使已知量—四边形边条边，与求解对象— 和 建立联系．可证四边形 和四边形 均为平行四边形．

在平行四边形 和 中

　　

　　

　　

　　　

　　

　　

　　∵

　　∴

　　∴

　　∴平行四边形 为矩形…

师评：该解法思维跨度大，实属不易，可见功底不凡．

探索三：遵循化归思想，该问题也可以转化为线面垂直来证明，作 ，连结 （如图（3）），只要证明 即可．

　　在 中



　　∴

　　在 中，



　　∵

　　∴

　　∴

师评：思路很好，但该法未能回避繁琐的运算．

探索四：遵循特殊化思想，该问题如特殊化即为如下平面几何问题：对边平方和相等的四边形的对角线互相垂直（如图（4））．遵循反证思想，这一命题的反命题利用勾股定理很容易证得．受此启发，对于原命题，如图（5）作 、 ，只要证明 重合，运用方程思想构造关于 的方程，求出 的值即可．

图

设 ， ， ， ， ，

由已知得

化简得

∴

相应的立体几何命题同样得证．

师评：漂亮．

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