第五节 两个平面平行的判定和性质
教学设计示例一
9.5 两个平面平行的判定和性质 第一课时
教学目标:
1.掌握两平面的空间关系种类,会画两个平行平面.
2.掌握空间两个平面平行的判定定理与性质定理,并能简单应用.
3.理解两平行平面间的距离的概念.
教具准备:三角板.
教学过程:
[设置情境]
教室里相对的两个墙面有什么特点?这种位置关系的平面怎么命名?如何证明两个平面具有这样的位置关系呢?
[探索研究]
1.两个平面的位置关系
我们一起观察教室的墙壁、地面、屋顶,由观察结果归纳出两个平面的两种不同的位置关系.
(1)两个平面平行
如果两个平面没有公共点,我们就说这两个平面互相平行.
(2)两个平面相交
如果两个平面有公共点,它们就相交于一条过该公共点的直线,就称这两个平面相交.
(3)两个平面的位置关系只有两种
①两个平面平行——没有公共点.
②两个平面相交——有一条公共直线.
(4)两个平面平行的画法
画两个互相平行的平面时,要注意使表示平面的两个平行四边形的对应边平行(图1,而不应画成图2那样.平面
和
平行,记作 .
2.两个平面平行的判定
两个平面平行的判定定理 如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.
已知:在平面 内,有两条直线 、 相交且和平面 平行.
求证: .
证明:用反证法证明.
假设 .
∵ , ,
∴ .
同理 .
∴ .
这与题设 与 是相交直线矛盾.
∴ .
以上是判定两个平面平行的一个定理,可让同学们想象一下是否还有其他的判定方法.
3.两个平面平行的性质
(1)一个结论
根据两个平面平行及直线和平面平行的定义,容易得出下面的结论.
, .
这就是说,如果两个平面平行,那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.
(2)两个平面平行的性质定理
教师提问:如果两个平面平行,并且它们都和第三个平面相交,交线有何关系?
很容易得出结论:交线平行.这可以由两个平面平行及平行线定义得出.
两个平面平行的性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线平行.
即设 , , ,则 .图1.
4.两个平行平面的距离
(1)两个平行平面的公垂线及公垂线段
和两个平行平面同时垂直的直线,叫做这两个平行平面的公垂线,它夹在这两个平行平面间的部分,叫做这两个平行平面的公垂线段.
(2)两个平行平面的距离
如图2, ,如果 、 都是它们的公垂线段,那么 .根据两个平面平行的性质定理,有 ,所以四边形 是平行四边形,所以 .
因此,两个平行平面的公垂线段都相等.我们把公垂线段的长度叫做两个平行平面的距离.
5.例题分析
例1 求证:垂直于同一条直线的两个平面平行.
已知: , (图3).
求证: .
分析:可设法证明 内有两条相交直线都平行于 .为此,要根据已知条件找出这样的直线.
证明:设经过直线 的两个平面 分别与平面 交于直线 和 .
∵ ,
∴ , ,
∵ , ,
∴ .
于是 .
同理可证 .
又 ,
∴ .
这个例题也可以当成两个平面平行的判定定理之二.
例2 求证:如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一个平面.
此性质的已知、求证、证明可以请一名学生上台板演,其他的学生在座位上自己画图完成证明过程.教师在黑板上画出图形,如图2,而后点评学生的证法.
[演练反馈]
1.课本P32练习1,2.
2.与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(
)
A.都平行
B.都相交
C.在这两个平面内
D.至少与其中一个平面平行
3.如果两个平面分别经过两条平行线中的一条,那么这两个平面(
)
A.平行
B.相交 C.重合
D.平行或相交
4.已知平面 与 不重合,则 的一个充分条件是(
)
A. , 且
B. , 且 ,
C. , 且
D. , 且
5.下列命题:①平行于同一直线的两个平面平行.②垂直于同一直线的两个平面平行.③平行于同一平面的两个平面平行.④与一直线成等角的两个平面平行,其中正确的命题有(
)
A.1个
B.2个
C.3个 D.4个
6.若 , , 则 与 的位置关系是_____________________.
7.如图1,已知 是两条异面直线,平面 过 且与 平行,平面 过 且与 平行.
求证: .
8.如图2,在正方体 中, 分别是棱 的中点.
求证:平面 平面 .
[参考答案]
1.略 2.D 3.D 4.D
5.B 6.平行或异面
7.提示:任取点 ,令点 与直线 确定的平面 交平面 于直线 ,证明 .
8.提示:连 ,证明 ,同理再证 .
[总结提炼]
[学生回忆,教师补充完善.]
1.两个平面的空间位置关系种类.
2.两个平行平面的画法.
3.平行平面的判定定理.
4.平行平面的性质.
5.两平行平面的公垂线、公垂线段、距离.
布置作业:课本P32习题9.5 1,2,3,4,5.
板书设计:
1.两个平面的位置关系 3.两个平面平行的性质 例1 2.两个平面平行的判定 (1)第一个性质 定理 (2)定理 例2 4.两个平行平面的距离 |
教学设计示例二
9.5 两个平面的平行和判定 第二课时
教学目标:
1.巩固复习两平面的位置关系.
2.巩固复习平行平面的判定与性质.
3.能应用平行平面的判定与性质解题.
教具准备:三角板、投影胶片.
教学过程:
[复习引入]
1.两个平面的位置关系.
2.两个平面平行的判定(两个判定).
3.两个平面平行的性质(三个性质).
4.两个平行平面的距离的概念.
[探索研究]
例1 如图, 是正方体,
分别是 的中点.
(1)求证:平面 平面 ;
(2)若正方体棱长为 ,求平面 与平面 间的距离.
证明:(1)取 的中点 ,连结
∵ 是正方体
∴ 是平行四边形
∴
又 也是平行四边形
∴ ,∴
又 且
∴平面 平面 .
(2)取 中点 , 中点 ,作 于 ,由 平面 得 ,∴ 平面 ,即 的长是两个平行平面 与 间的距离.
∵
∴ ,
于是 .
评析:第(1)问还可以通过证明 平面 , 平面 ,得出面 面 ,这也是证明两个平面平行的重要方法.
例2 如图,已知夹在两个平行平面 间的两条异面线段 所成角为 ,它们在平面 内的射影长分别为2和12,且 和平面 所成的角之差为 ,求两个平行平面 与 之间的距离.
分析:首先将已知条件用图形表示出来,即作出有关的角和距离,再通过解平面图形求解.
解:过 点在 与 所确定的平面内作 交 于 ,则 是异面直线 和 所成的角,所以 .
作 于 , 于 ,连结 ,则 , , .
∵ ,∴ ,设 ,即设 间距离为 .
在 中, ,在 中, .
∴ = ,
即 ,解得: 或6.
即平面 与 之间的距离为4或6.
例3 如图,平面 平面 , , , 是 的公垂线,且 , 是斜线,若 , , 分别是 和 的中点.
(1)求证: 平面 ;
(2)求 的长.
(1)证明:连结 ,取 的中点 ,连结 、 .
在△ 中, 是 的中点
∴ 平面
∴
同理
∵
∴
又 是两相交直线
∴平面 平面 平面
∴ 平面 .
(2)解:连结 ,在△ 与△ 中, 是 的公垂线
∴
是 的中点
,又
∴△ ≌△ ,于是
是 的中点,∴
在△ 中, ,
∴
在△ 中,
∴ .
[演练反馈]
1. 是不重合的两个平面,则下列条件中,可推出
的是(
)
A. 都与直线 成等角
B. 内有不共线的三点到 的距离相等
C. 是 内的两条直线且 ,
D. 是异面直线且 , , ,
2.若平面 ,直线 ,点 ,则在 内过点 的所有直线中(
)
A.不一定存在与 平行的直线
B.只有两条与 平行的直线
C.存在无数条与 平行的直线
D.有且只有一条与 平行的直线
3.命题:①与三角形两边平行的平面平行于这个三角形的第三边.②与三角形两边垂直的直线垂直于第三边.③与三角形三顶点等距离的平面平行于这个三角形所在的平面.其中假命题的个数为(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
4.设 是两条互不垂直的异面直线,过 分别作平面 ,对于下列4种情况:① ② ③ ④ 可能的情况有(
)
A.1种
B.2种
C.3种
D.4种
5.夹在两个平行平面 之间的线段 ,且 与 成 角,则 与 之间的距离为_____________.
6.设平面 平面 , , ,直线 ,若 , , ,则
7.如图1,已知平面 外一点 ,三条射线 分别交 于 ,交 于 、 、 .
(1)求证:△ ~△ ;
(2)若 , , ,求 的长.
8.如图2,直线 分别交两平行平面 于 两点,直线 分别交平面 于 两点.直线 分别平于面 于 两点.若 , , ,且 ,求 .
[参考答案]
1.D 2.D 3.B 4.B 5. 6. 或68
7.提示:通过证明 、 、 ,得到 .
8.解:由平面与平面平行的性质先证 ,
∴
且 ,
则
∴ .
[总结提炼]
要证面面平行,通常先证线面平行,而通过线面平行的判定定理又转化为证线线平行.线线平行的发现途径很广泛:利用比例相等、平行四边形对边、梯形两底边、公理4等均可得到,做题时应灵活应用.
布置作业:课本P33习题9.5 6,7,8,9.
板书设计:
1.复习 例3 例1 练习 例2 |