第五节 两个平面平行的判定和性质
例1:已知正方体 .
求证:平面 平面 .
证明:∵ 为正方体,
∴ ,
又 平面 ,
故 平面 .
同理 平面 .
又 ,
∴ 平面 平面 .
说明:上述证明是根据判定定理1实现的.本题也可根据判定定理2证明,只需连接
即可,此法还可以求出这两个平行平面的距离.
例2:如图,已知 , , .
求证: .
证明:过直线 作一平面 ,设 , .
∵ ∴
又 ∴
在同一个平面 内过同一点 有两条直线 与直线 平行
∴ 与 重合,即 .
说明:本题也可以用反证法进行证明.
例3:如果一条直线与两个平行平面中的一个相交,那么它和另一个也相交.
已知:如图, , .求证: 与 相交.
证明:在
上取一点 ,过 和 作平面 ,由于 与α有公共点 , 与 有公共点 .
∴ 与 、 都相交.
设 , .
∵
∴
又 、 、 都在平面 内,且 和 交于 .
∵ 与 相交.
所以 与 相交.
例4:已知平面 , , 为夹在 , 间的异面线段, 、 分别为 、
的中点.
求证: , .
证明:连接 并延长交 于 .
∵
∴ , 确定平面 ,且 , .
∵ ,所以 ,
∴ ,
又 , ,
∴ △ ≌△ .
∴ .
又 ,
∴ , .
故 .
同理
说明:本题还有其它证法,要点是对异面直线的处理.
例5:如图,已知 为△ 所在平面外一点, 、 、 分别是△ 、△ 、△ 的重心.
求证:平面 平面 .
分析:本题的思路在于如何找到三点 、 、 或它们的三边与平面 的关系.根据重心的性质易知应该连接 、 、 ,再根据相似比可知△ 的三边分别与△ 的三边平行,进而可得结论.
例6:如图,已知矩形 的四个顶点在平面上的射影分别为 、 、 、 ,且 、 、 、 互不重合,也无三点共线.
求证:四边形 是平行四边形.
证明:∵ ,
∴
不妨设 和 确定平面 .
同理 和 确定平面 .
又 ,且
∴
同理
又
∴
又 ,
∴ .
同理 .
∴四边形 是平行四边形.