第五节 两个平面平行的判定和性质

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　　几何学既然舍弃了物体的所有其他性质而只保留了空间形式和关系作为自己研究的对象，因此它是抽象的．这种抽象决定了几何的思辨方法，这就决定必须用推理的方法从一些结论导出另一些新结论；或者说，定理如果不是用演绎的方式来证明，便不属于几何学．
　　这种论证几何学的代表作，便是公元前三世纪欧几里得的《几何原本》．在绵延两千余年的时间里，它长久地控制着几何学的传授，至今仍被奉为几何论证的楷模．它先以手抄本流传，在印刷术传入欧洲后又以一千多种版本流传于世．在西方出版物中，发行量仅次于《圣经》而居第二位．这在教育史和出版史上都是空前的．我国最早的译本是徐光启与意大利人利玛窦（Matteo，Ricci，1552—1610）于1607年合译的前六卷，至今已有390余年．
　　《几何原本》共十三卷，一至四卷为平面几何学，包括线和角的最简单的性质、三角形全等的条件、三角形的边与角的关系、平行线理论、三角形与多边形等积的条件、勾股定理（第一卷）、与已知长方形等积的正方形作法、“黄金分割”（第二卷）、圆（第三卷）以及内接和外切”多边形（第四卷）；第五、六两卷是以纯粹几何形式表现的欧多克斯的比例论及其在相似多边形研究中的应用，它们安排得如此靠后，是《几何原本》与现代平面几何的重大区别之一；第七至第九卷主要是数论——整数的可除性（求一组数的最大公约数的“欧几里得算法”——辗转相除法）、等比级数求和法以及素数的某些性质（如存在无穷多个素数的“欧几里得定理”）．这几卷似乎脱离开了几何，但如果称它们为数论或代数学的话，也只能称为“几何数论”和“几何代数”，因为它们全都是以完全的几何形式给出的．第十卷讨论了形如 的二次无理式的几何分类；第十一至十三卷为立体几何学，从立体角、抛物线体、锥体和角锥体的体积，引导到球和正面体的讨论．
　　《几何原本》详尽地总结了在它之前几何学领域中的一切成就，欧几里得对它们进行了重要的逻辑加工，把这些原来十分分散的知识，系以逻辑推理的链子，从而编排成系统的理论．欧几里得还示范式地给出了几何证明的方法，主要是解析法、综合法和归谬法．解析法是先假设终结已经得到，分析它得以成立的条件，由此得到证明的步骤．综合法是从假设开始，运用公理和已证明过的定理，逐步得到终结．归谬法则是在保留假设的前提下否定终结，导出与假设相背或与已知事实相谬的结论．这些我们现在已能应用自如的方法，也是始于欧几里得．正是由于欧几里得的总结和提炼，才使几何学这一重要的数学分支构成了如此严密的系统，以至直到非欧几何产生之前的两千多年的时间内，原则上已不能再对它的原理增添什么新的内容，更不要说去动摇它的权威了．仅这一点，也不能不使后世人赞叹不已了．
　　 这种论证几何学之所以使人女。此确信不疑，首先在于他的基础——公理的准确性．这些公理来自人类千百年的实践，与客观实际完全相符．它虽然最初是由人们的感性认识所得，但又绝不停留在认识论的这一初级阶段．人们经过不断地用实践检验之后，剔除了错误的东西，保留了正确的部分，感性认识会带来错觉的例子如图1所示，如果只依靠视觉，你一定会觉得（1）中的三角形三条边均向内弯曲；（2）中两线段之长 ．其实，这是你的眼睛欺骗了你，只消借助于一把直尺，你很容易就能判断：（1）中三角形三条边都是直线段；（2）中两线段 ．而公理之所以正确，恰是因为它经得起人类实践的检验．例如，正是由于人们在生产和生活的实际需要中千百万次地画直线，才得到了“通过任意两点可以画一条直线”这个公理．
　　几何中的概念的产生也同样是如此．人们把各种物体搬移挪动和迭合许多次，然后才概括出几何图形叠加的概念，并把它应用于定理的证明中（例如两个三角形全等）．对于每一概念的特殊性质的解释，便是它的定义．几何中的最基本的概念是构成一切几何图形的基本元素：点、线、面．
　　欧几里得的体系受亚里士多德的影响很大，但他并没有全盘接受．在《几何原本》中，他似乎是以几何图形的性质作为公设，而以量与量之间的关系作为公理的．他一共给出了二十三个定义、五条公设和五条公理，现摘记如下：
定义：
　　（1）点是没有部分的．
　　（2）线有长度但是没有宽度．
　　（3）线的各端是点．
　　（4）直线是这样的线，它上面的点是一样放置着的．
　　（5）面只有长度和宽度．
　　（6）面的端（或边缘）是线．
　　（7）平面是这样的面，它上面的直线是一样放置着的．
                                    ……
　　（23）平行的直线是同在一个平面上，而且尽量向两侧延长也不会相交的直线．
公设：
　　（1）从任意的一个点到另一个点可以作直线．
　　（2）有限的直线可以无限地延长．
　　（3）以任意一点为中心，可以用任意的长度当作半径作圆．
　　（4）所有的直角都相等．
　　（5）如两条直线被第三条直线所截，在截线一侧的两个同侧内角的和小于两个直角，则这两条直线在这一侧无止境地延长之后，一定会相交．
公理：
　　（1）与一个量相等的量相互相等．
　　（2）从相等的量上加上相等的量，所得的整体相等．
　　（3）从相等的量上减去相等的量，所余的部分相等．
　　（4）相互合同的，就是相互相等的．
　　（5）全体大于部分．
　　欧几里得为他的几何体系打下的这种基础尽管是牢靠的，但绝不是无懈可击的，因为他年竟处在人类文化的初级阶段．就以定义（4）和定义（7）而言，都使用了一个在《几何原本》中未曾解释过的“一样放置着”的概念．这种用一个未知意义的概念来解释另一个未知意义的定义，显然是不科学的．欧几里得本人或许也意识到了这一点，在他后来的全部内容中，从来就没有使用过点、直线和平面的定义．为以后下一种更好的定义做尝试，以至产生了阿基米德的五条公理．
　　欧几里得的第五公设在数学史上占有特殊的地位．后世的数学家早就注意到，与论述直线和目的基本性质的前四条公设相比，第五公设的性质显得太复杂了．它更像一条定理而不是公设；它在《几何原本》中出现得也很晚，第一次出现是在证明第29个定理时，而且欧几里得在以后也似乎总是尽量避免使用它．因此人们开始怀疑第五公设作为公理的地位，并探索用其他公理来证明它，从而使它变成一条定理．在两千余年中，进行这种求索试探并有案可夫的就这两千人以上，其中包括许多知名的数学家．但是，所有这一切几乎都失败了．而在这些失败的教训中，一种崭新的几何学体系——非欧几何学，却应运而生了．
　　几何学逻辑基础的彻底整理，是在十九世纪末期由德国著名数学家希尔伯特完成的．这出现了一门新课程——《几何基础》．

“面面平行判定定理”教学的新构思

——建构主义学习理论下的课例及点评

一、教学目标
1．认知目标
　　引导学生在“线线平行”或“线面平行”的知识基础上“同化”和“索引”出“面面平行”的判定定理及其变式，并能运用它们解决相关的实际问题．同时，进一步熟悉类比转化和。观察—猜想—论证”的认知方法．
2．元认知目标
　　引导学生反思新旧知识间的联系，促进学生养成善于联系地思考问题，提炼思想观点，获取知识、方法、思想等应用时机的元认知知识．
［点评：建构主义学习理论认为，学生对知识与经验的获取是以己有知识经验为依托的；贮存在头脑中的知识与经验如何提取是以知识间的联系为基础的；知识与经验如何与来自各方面的信息产生作用是由情境来激发的．只有在平时的课堂教学中，随时运用问题的情境，培养学生的认知和元认知能力，他才能积蓄问题解决的能量，完成对当前所学知识意义的建构．因此，建构主义学习理论下的教学目标主要是培养和发展学生的认知和元认知能力．］
二、教学过程
1．创设情境
　　师：如图，观察教室的天花板与地面所在的两个平面，它们有怎样的位置关系？
　　生：平行．
　　师：你能说出为什么平行的道理来吗？
　　生：用定义．
　　师：试试看！
　　生：…（欲证不能，欲罢不忍）
　　师：以前，见过类似于这样的问题吗？
　　生：在“用定义证明直线与平面平行”中见过．
　　[点评：建构主义学习理论认为，学习总与一定的知识背景即情境相联系，在实际情境下进行学习，可以使学生利用已有知识与经验同化和索引出当前要学习的新知识，这样获取的知识，不但便于保持，而且易于迁移到陌生的问题情境中．
　　这里，教者充分运用学生熟知的实例，既激活了学生要学习的“面面平行”的判定定理，又引发出了学生长时记忆中的“线面平行判定定理”之间的关系，为“面面平行判定定理”意义的建构建立了一个稳固的支撑点．］
2．提供背景材料
　　师：那时，用“直线与平面平行的定义”证明直线与平面的平行，而不易证时，我们是怎样处理这个问题的？
　　生：寻找便于证明的判定定理，即寻找判定“线面平行”的条件．
　　师：照这样分析，我们现在要探寻的是“面面平行”判定的条件，那么条件又是什么呢？
　　生：…（一时想不到）
　　师：还要像探寻“线面平行判定的条件”那样，从实际问题中去提炼吗？
　　生：…（还是拿不准）
　　师：从实际问题中去提炼是一种办法，但现在我们已有线面平行的判定定理作基础，我们能否从分析“线面平行判定定理”的条件与结论入手，去获得有益的启示呢？
　　 ：“线面平行判定定理”的条件是“线线平行”，结论是“线面平行”．
　　 ：我明白了，“线面平行”的条件是“线线平行”，即证明“线面平行”的问题可转化为证明“线线平行”的问题．照这样，判定“面面平行”的问题可转化为判定“线面平行”的问题．
　　 ：按照 的想法，我认为，判定“画面平行”的问题也可转化为：判定“线线平行”的问题．
　　师：大家的分析都很有道理，并且集中地揭示了解立体几何问题的一个重要的思想方法，这个思想方法是什么？
　　生（齐）：高维向低维转化．
　　师：究竟 、 的想法是否正确，下面我们一起来逐个验证．
　　［点评：建构主义学习理论认为，学生对问题解决思想方法意义的建构，是从熟知的相类似的问题情境中“同化”和“索引”出来的．当然，如果不这样，经过反复学习，也可以获取这一思想方法，可是这样的思想方法不可能与长期记忆中相关的思想方法产生联系，因而是孤立的，很难用来解决实际问题．
　　这里，教者为学生探索“面面平行”判定的条件提供了熟知的背景材料，引导学生先从熟知的问题情境中感受体验出探索“线面平行”判定条件的方法，然后类比地迁移到探寻“面面平行”判定的条件中，有效地实现了学生对思想方法意义的建构．］
　　3．形成假说
　　师：根据 的分析，“面面平行”判定的条件是“线面平行”，那么“线面平行”的含义如何？
　　 ：…一平面内一直线与另一平面平行．
　　 ：一平面内两平行百线与另一平面平行．
　　师：上述假说是否正确，我们来逐一检验，下面请同学们观察思考下列问题：
　　①已知 ，则过 的平面是否一定与 平行？（教师演示模型，学生观察口答，以下同）
　　②已知 ， ，且 ，则过 的平面是否一定与 平行？为什么？
　　③已知 ， ，则过 的平面是否一定与 平行？为什么？
　　④经过怎样的两相交直线的平面才能与 平行呢？
　　引导学生形成命题：经过与平面都平行的两相交直线的平面与已知平面平行．
　　［点评：为了支持学生主动地形成假说，这里教师站在稍稍超前于学生智力发展的边界上（即思维的最邻近发展区），通过问题引领，来促成学生形成“面面平行”判定的假说，重视了“自主”在意义建构中的关键作用．］
　　4．证明假说
　　师：上述命题是否正确，请同学们自己画出图形，写出已知，求证．（片刻后，教师板书）
　　师：欲证 实质是证明什么？
　　生： 与 没有公共点．
　　师：能否说得更具体一点呢？
　　生：即证 上的任意点，都不在 上．
　　师：对于处理“任意点，都不在 上”的证明问题，以前见过吗？
　　生：在证明直线与平面平行中见过．
　　师：用什么方法？
　　生：用反证明法，假设 ．
　　［点评：发展学生的认知结构，更重要的还包括对元认知知识（在什么情境下运用某数学知识、方法、思想的知识）意义的建构，而元认知知识是对问题解决过程反思体验的认知结果，反过来又引领调控新问题解决的过程．
　　这里，教者先引导学生发掘出证明“面面平行”判定定理的思维情境，再引导学生反思体验出证明“线面平行”判定定理的思维过程，从而引发出学生认知结构中已有的“反证法”在“面面平行”判定定理证明中的迁移．］
　　师：下面请同学们自己用反证法给出上述命题的证明．
　　（学生证后，师生共同讲评，并引出“面面平行的判定定理”，学生口述，教师板书．）
　　生：（不满足地）本题可用直接法证（其余学生为之诧异）．
　　师：请把你的直接证法说给大家听听看．
　　生：任取点 ，点 对于 的位置关系只有两种， 或 ．若 ，则 与 相交于过 点的一条直线，设为 ，余同前述证法．
　　师：说得很好！请同学们仔细想想看，这种证法的实质是什么？
　　生：以反证法为基础．
　　［点评：帮助学生进行思想方法意义的建构，要尽可能揭示出思想方法的全貌，使学生从整体上把握问题的解决的方法．］
　　5．变式延伸
　　师：前协曾提到，面面平行判定定理的条件可以是“线线平行”，那么，“线线平行”的含义又是怎样呢？
　　生：一平面内一直线平行于另一平面内一直线，…
　　师：好！下面请同学们自己逐一分析研究这些条件，为此，观察、思考下列问题．
　　（1）已知 ， ， ， 与 是否一定平行（教师演示模型，学生观察回答，以下同）
　　（2）已知 且 ， ， 与 是否一定平行？
　　（3） 内的两直线 与 内的两直线 应满足怎样的条件才能使 与 平行呢？
　　引导学生概括出命题1：一平面内的两相交直线分别平行于另一平目内的两相交直线，那么这两个平面平行．”然后，要求学生自己写出已知、求证，并给出证明．
　　师：“面面平行”判定的条件一定要从线线或线面平行的位置关系中去寻找吗？还能否从线面的其它位置关系中探寻出“面面平行”的判定的条件呢？
　　生：线面其它的位置关系只能是相交．
　　师：对！要从线面相交的位置关系中，探寻出“面面平行”判定的条件，一般的认知方法是什么？
　　 ：从特殊情形出发．
　　 ：线面相交的特殊情形是线面垂直，照此说法，应先考虑直线和两手面都垂直的情形．
　　 ：（受“线面平行”的判定定理形成的启发）从考察教室的内部结构出发可知：四条墙脚线垂直上下底面，则上下底面平行．
　　 ：因为四条墙角线是平行的，，其中一条垂直于上下底面，其余的三条必垂直于上、下底面，因此，如果 的假说成立，那么，面面平行判定的条件可以是“一直线同垂直于两平面”．
　　师：根据上面的分析，请同学们概括出这个命题．
　　生（命题2）：如果两平面同垂直于一直线，那么这两个平面平行．
　　师：命题是否正确，请同学们自己写出已知、求证，并给出证明．
　　略．
　　师：在命题2中，将“与两平面垂直的直线”改为“不垂直”命题还成立吗？（教师演示模式，学生观察）
　　生：不成立．
　　师：能否再增加一些条件，使命题2成立呢？请同学们自己演示模型，观察分析得出结论．
　　 ：平面 与平面 间的两平行线段相等，则 ．
　　 ：不对！这只能保证平面 内一直线与平面 内一直线平行，我觉得条件应该是平面 内不一直线上的三点到平面 间的平行线段相等．
　　 ：这些条件还不够，因为，若 与 相交，也能在 上找到不共线的三点，它们与平面 间的平等线段相等．
　　师：同学们讨论得很好，谁来概括出这一命题呢？
　　 （命题3）：平面 上，不共线的三点（在 的同侧）到平面 间的平行线段相等，则 ．
　　 ：若命题3成立，那么命题3的特殊情形也成立，即有：
　　c  1  4：平面 内不在一直线上三点（在 同侧）到 的距离相等，则 ．
　　师：还能够演变出另外的命题来吗？（延迟）比如，保持 不动，让 按逆时针方向旋转呢？（教师演示图形）
　　生（命题5）： 与 间不共面的三线段 交于一点 ，且 ， ， ，则 ．
　　师：你们探索到的命题3至命题5都是正确的，有兴趣的同学课后去验证．
　　［点评：建构主义学习理论认为，学习者与周围环境的相互作用，对于学习内容的理解起着关键性的作用，这是建构主义的核心概念之一．
　　这里，学生在教师的引导下，在积累了已有探索经验的基础之上，一起讨论交流，相互评价，共同完成“面面平行”判定定理变式意义的建构．通过这样的协作学习环境，学习者群体的思维与智慧为整个群体所共享．］
　　6．总结提高
　　师（屏幕显示定理及命题1至命题5的示意图）：在“面面平行”判定定理的学习中，我们应掌握哪些知识与方活呢？请同学们在示意图下方写出相应的定理和命题，标出这些定理或命题间的思维联系，并提炼出应用这些定理成命题解题的思想观点．
　　余略．
　　［点评：学生完成定理及命题1至命题5意义的建构后，对这一知识块意义的建构是否有质有量，还处决于学生认知结构中的这些定理或命题间的思维联系是否清晰有序．因此，在学生完成对定理及有关命题意义的建构后，教师仍然继续在知识问的联系上做细致扎实的引导下作，这样既便于学生长时记忆，又能激活将要学习的相关的新知识．］
　　最后我们总体予以评说．
　　点评要围绕数学意义的建构来设计课堂教学
　　“数学的意义建构”是指对数学知识、方法、思想及其应用情境达到较为纯熟的认识，并将这种认识思维地贮存在大脑中，随时提取和应用．
　　建构主义学习理论认为，学生学习数学的本质是学生在一定的社会环境下通过自己的经验能动地建构它对客体的认识，基本观点是：（1）学习数学是对数学知识意义主动建构的过程，而不是一个被动吸收的过程；（2）这个过程依赖于学生已有的认知结构：（3）学生构建活动必然受到外部环境的刺激影响，从而它是一个社会建构，基于这样的认知，我们可将建构主义理论下的教学过程概括为：“以学生为中心，在整个教学过程中，教师是建构活动的设计者、组织者，指导者与批判者，利用情境（知识发生的真实情况）、协作（相互协商）、会话（用语言交流思维成果）等学习环境要素，充分发挥学生的主动性、积极性和首创精神，最终达到使学生有效地实现对当前所学知识意义建构的目的．”即，数学课堂教学应围绕学生对数学意义的建构来设计．本课就是在建构主义学习理论指导下展开教学的，下面我们用建构主义学习理论来分析研究这节课．
　　1．坚持以学生为中心
　　课堂教学中，如何做到以学生为中心呢？建构主义认为可从以下三方面去努力：（1）在学习过程中要充分发挥学生的主动性，要能体现出学生的首创精神；（2）要让学生有多种机会在不同的情境下去应用他们所学的知识；（3）要让学生能根据自身行动的反馈信息来形成对问题的认识和制定解决问题的方案．
　　本课例中，从定理的形成、证明，到定理的变式、引申等，都是学生自己利用已有知识、方法、思想“同化”和“索引”出来的．教师仅为学生创设了可供知识外化的相应情境，帮助他们完成这些知识意义的建构．其次，对蕴含于“线面平行”判定定理中思想方治的发掘，对问题解决过程的反思、评价，对系统知识、方法间的联系及思想观点的提炼等，也是在教师的支持下，学生自己完成的，充分体现了建构主义学习理论课堂教学的“首创、外化、自我反馈”等基本要素．
　　2．重视问题情境的创设
　　建构主义学习理论认为，数学学习总与一定的知识背景，即“情境”相联系，在实际情境下进行学习，可以使学生能利用自己的原有认知结构中的有关知识、经验“同化”和“索引”出当时要学新知识意义的建构．如课例在探寻“画面平行”判定定理的条件时，教师先引导学生反思“线面平行”判定定理形成的思维过程及定理本身所揭示的思想方法，然后，再引导学生将探寻“线面平行”判定条件的情境与探寻“面面平行”判定条件的情境比较对照，使他们在心理上产生共鸣，从而十分自然地索引出了探求“面面平行”判定条件方法：可以从实例中去抽象，也可由高维转化为低维的思想方法来获取，有效地实现了学生对转化（化归）思想意义的建构．
　　3．强调“协作学习”在意义建构中的关键作用
　　协作学习是指学生在教师组织和引导之下，一起讨论和交流，共同批判地考察各种理论、观点、信仰和假说，进行协商和辩论，先内部协商（与自身争辩到底哪一种观点正确），然后再相互协商（对当前问题提出各自看法、论据，并对别人的观点作出分析和辩论）．这对学生“同化”、“顺应”后的认知结构的“稳定性”、“清晰性”和“可利用性”起着关键的作用．
　　本课例在定理的形成、定理的变式及引申等思维跳跃的关键时刻，教师都创设了可供学生协作学习的良好的环境，充分暴露了他们的认知、调控、反思、评价等思维过程，突出了“协作学习”在意义建构中的关键作用．
　　4．重视培养和发展学生的元认知
　　元认知就是指主体对自身认识活动的认知，其中包括正在发生的认知过程和自我认知的能力以及两者相互作用的认知．元认知有两个基本功能，一是“知道”，知道自己拥有什么知识和经验，二是“监控”．监控是使用自己知识的某一部分去应付某种特定的心智工作．可以认为元认知能力的发展就是为学生在心理上寻找一位“老师”，大大地增强了学生对知识意义建构的自信心，随时可以告诉自己，在什么情境下，使用什么知识与策略就可以解决要学习的问题．因此，建构主义学习理论特别注重培养和发展学生的元认知．
　　而元认知是学生对认知过程反思体验的认知结果．因此课例中，在探寻“面面平行”判定定理条件时，所需要的思想方治，就是学生从“线面平行”判定定理条件的探求过程中反思体验出来的；判定定理与相关命题所揭示的思想观点，是学生分析这些定理与命题的共同特点提炼出来的．它便于学生超越问题情境迁移到陌生的问题情境中；…
　　总之，建构主义学习理论的教学观，最根本的是对认知过程中的“同化”与“顺应”的主体性的确认，只有“同化”、“顺应”与学习环境的有机匹配，才能有效地实现对所学知识意义的建构．