第七节 棱柱
教学设计示例一
9.7 棱 柱 第一课时
教学目标:理解棱柱的概念、分类;掌握棱柱的性质.
教具准备:投影胶片、多媒体课件.
教学过程:
[设置情境]
教师拿几个模型(如图1)一一呈现出来让同学们观察,并讨论哪些是棱柱.
教师指出①③⑤为棱柱,然后问,棱柱有什么样的特征?应当怎么定义呢?
[探索研究]
1.棱柱的概念
(1)概念(出示模型或投影仪)
通过举实际生活中的例子,介绍概念:棱柱的定义、底面、侧面、棱、侧棱、顶点、对角线、高.
(2)棱柱的分类(见图2)
从侧棱与底面的关系来分可分为:斜棱柱、直棱柱、正棱柱.
从底面多边形的边数来分可分为:三棱柱、四棱柱、五棱柱等.
2.棱柱的性质(见图3)
(1)侧棱都相等,侧面是平行四边形.
(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形.
(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形.
3.例题分析
例1 下列命题中正确的是( )
A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
D.有两个相邻侧面垂直于底面的棱柱是直棱柱
解:如图4,面 面 ,但图中的几何体中每相邻两个四边形的公共边并不都互相平行,故不是棱柱. 、 都不正确.当两个相邻侧面都垂直于底面时,它们的公共侧棱垂直于底面,因此这样的棱柱是直棱柱,故选D.
例2 下列命题中的假命题是( )
A.直棱柱的侧棱就是直棱柱的高
B.有一个侧面是矩形的棱柱是直棱柱
C.直棱柱的侧面是矩形
D.有一条侧棱垂直于底面的棱柱是直棱往
解:A.直棱往的侧棱垂直于底面,是直棱柱的高,命题为真.
B.有一个侧面是矩形,并不能保证侧棱垂直于底面,命题为假.
C.直棱柱的侧面是矩形,命题为真.
D.因棱柱的侧棱相互平行,因此,有一条侧棱垂直于底面,则所有侧棱都垂直于底面,构成直棱柱,命题为真.
故选B.
例3 棱柱成为直棱柱的一个充要条件是( )
A.棱柱有一条侧棱与底面的两边垂直
B.棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直
C.棱柱有一个侧面是矩形,且它与底面垂直
D.棱柱的侧面与底面都是矩形
解:A.棱柱有一条侧棱与底面的两边垂直推不出棱柱是直棱柱.(棱柱的一条侧棱与底面的两边垂直,没有明确这两条边是否相交,保证不了测棱与底面垂直.)
B.棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直推不出棱柱是直棱柱.(棱柱有一个侧面与底面的一条边垂直,即底面上一条直线与侧面垂直,侧面与底面垂直,保证不了侧棱与底面垂直.)
C.棱柱有一个侧面是矩形,且它与底面垂直.(侧面与底面垂直,侧面又是矩形,根据两平面垂直的性质定理,侧棱垂直于底面.)
D.棱柱是直棱柱推不出棱柱的侧面与底面都是矩形.(棱柱是直棱柱,底面不一定是矩形.)
故选C.
[演练反馈]
1.一个棱柱是正四棱柱的条件是( )
A.底面是正方形,有两个侧面垂直于底面
B.每个侧面是全等的矩形
C.底面是菱形,且有一个顶点处的三条棱两两垂直
D.底面是正方形,有两个侧面是矩形
2.棱柱的侧面是__________形,直棱柱的侧面是__________形,正棱柱的侧面是________形.
3.如图5,直四棱柱 中,各棱长均为 , ,求对角线 与 的长.
[参考答案]
1.C 2.平行四边形;矩;全等的矩
3. ,
[总结提炼]
[学生讨论,教师补充完善.]
1.什么叫棱柱?
2.棱柱的分类.
3.棱柱的性质.
(四)布置作业
1.课本P45习题 9.7 1.
2.课本P45习题 9.7 2.
3.课本P46习题 9.7 3.
[参考答案]
1.略. 2. , 3. ,
(五)板书设计
1.棱柱的概念(图) 2.棱柱的性质 |
例1 例2 |
例3 |
教学设计示例二
9.7 棱柱 第二课时
教学目标:
1.理解平行六面体、直平行六面体、长方体、正方体的概念.
2.掌握长方体的对角线长与棱长的关系公式.
3.能利用棱柱的概念及性质理解题意,解决问题.
教学过程:
[设置情境]
我们知道长方形的对角线长的平方等于长和宽的平方和,那么长方体的对角线长与其长、宽、高之间有类似的关系吗?
[探索研究]
1.特殊的四棱柱
平行六面体—底面是平行四边形的四棱柱.(如图1(1))
直平行六面体—侧棱与底面垂直的平行六面体.(如图1(2))
长方体—底面是矩形的直平行六面体.(如图1(3))
正方体—棱长都相等的长方体.(如图1(4))
由以上定义不难得到下面的关系:
{正方体} {长方体} {直平行六面体} {平行六面体}
2.给出公式
,其中 是棱柱的底面积, 是棱柱的高.
3.定理
定理 长方体对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的长的平方和.
已知:长方体 中, 是一条对角线(如图2)
求证: .
证明:连结 .∵ ,∴ ,
又∵ ,∴ .
4.例题分析
例1 若长方体的三个面的面积分别为 、 和 ,求长方体的对角线长 .
解:设长方体的长、宽、高分别为 、 、 ,对角线长为 ,则
∴ .
例2 如图1,在正方体 中, 、 分别为 、 的中点.
(1)求证: ;
(2)求 与 所成的角;
(3)证明:平面 平面 .
解:(1)由 是正方体,知 平面 .又 平面 ,故 .
(2)取 中点 ,连结 、 、 .由 是 中点,知 ,又 ,得 ,故 是平行四边形,所以 .
设 、 交于 ,则 是 与 所成的角.由 是 中点,可得
△ ≌ △ .
∴ .故 ,即 与 所成的角为直角.
(3) , ,又 ,故 平面 .
又 平面 ,故平面 平面 .
例3 平行六面体 的棱长都相等,且 .
(1)求证:平面 平面 ;
(2)若 ,求 到平面 的距离.
解:(如图1)作 平面 于 .由 可知 在 的角平分线上,又因为 是菱形,所以 在 上,且根据三垂线定理,由 得 ,所以 平面 ,平面 平面 .
(2)作 于 ,连 ,由三垂线定理得 ,在 △ 中, , ,有 . △ 中, ,有 .于是 .
即得 到平面 的距离为 .
[演练反馈]
1.四条对角线不相等且交于一点的四棱柱是( )
A.直四棱柱 B.斜平行六面体 C.长方体 D.正四棱体
2.正方体的对角线长为 ,则它的面的对角线长为_____________.
3.已知正四棱柱 的底面边长为2,侧棱长为 .
(1)求二面角 的大小;
(2)求点 到平面 的距离.
[参考答案]
1.B 2. 3.(1) (2)
[总结提炼]
掌握特殊四棱柱的概念,弄清它们之间的包含关系,理解长方体的对角线长与棱长的关系,记住柱体的体积公式.
(四)布置作业
1.课本P46习题9.7 4. 2.课本P46习题9.7 5.
3.课本P46习题9.7 7. 4.课本P46习题9.7 8.
[参考答案]
1.提示:(1)利用平行四边形的对角线互相平分来证明.(2)利用(1)的结论.
2.对角线长为 . 3. .
4.略.
(五)板书设计
1.特殊的四棱柱(投影图形) 2.定理 |
例1 例2 |
例3 总结 |
教学设计示例三
9.7 棱柱 第三课时
教学目标:
1.掌握水平放置的平面图形的直观图画法.
2.掌握直棱柱的直观图画法.
教具准备:三角板.
教学过程:
[设置情境]
把平面图形画在纸上或黑板上,那很简单.要把立体图形画在纸上或黑板上,实际上是把本来不完全在同一个平面内的点的集合,用同一个平面内的点来表示.这时画在纸上或黑板上的图形,已经不是普通地平面图形,而是立体图形的直观图.
教师问:
(1)右图看起来像什么?
(2)正方体的各个面都是正方形,在此图形中各个面都画成正方形了吗?
(3)立体图形的直观图要有立体感,即把不在同一平面内的点集在同一平面内表现出来,为此,它往往与立体图形的真实形状不相同,那么怎么画立体图形的直观图呢?
[探索研究]
1.水平放置的平面图形的直观图的斜二侧画法
(1)在已知图形中取互相垂直的 轴和 轴,两轴交于点 .画直观图时,把它们画成对应的 轴和 轴,两轴交于点 ,使 (或 )它们确定的平面表示水平平面.
(2)已知图形中平行于 轴或 轴的线段,在直观图中分别画成平行于 轴或 轴的线段.
(3)已知图形中平行于 轴的线段,在直观图中保持原长度不变;平行于 轴的线段,长度为原来的一半.
例1 画水平放置的正六边形的直观图.(图1(1))
作法:(1)在已知正六边形 中,取对角线 所在的直线为 轴,取对称轴 为 轴,两轴交于点 ,画对应的 轴、 轴,取 .
(2)以点 为中点,在 轴上取 ,在 轴上取 ,以点 为中点画 平行于 轴,且 ;再以 为中点画 平行于 轴,且 .
(3)连结 、 、 、 ,所得的六边形 就是正六边形 的直观图.(见图1(3))
2.画直棱柱的直观图
例2 画正六棱柱的直观图.
(画法:见课本第45页.)
[演练反馈]
1.画水平放置的正角形的直观图.
2.画正五棱柱的直观图.
[参考答案]
1.如图2:
作法:(1)在已知正三角形 中,取 所在的直线为 轴,取线段 的中垂线 所在的直线为 轴.画对应的 轴, 轴,使 .
(2)以 为中点,在 轴上取 ,在 轴上 .
(3)连结 、 ,然后擦去辅助线.(见图2(3))
2.如图3:
作法:1.画轴.画 、 、 轴,使 (或 ), .
2.画底面.按 轴、 轴画正五边形的直观图 .
3.画侧棱.过点 、 、 、 、 各点分别作 轴的平行线,并在这些平行线上分别截取 、 、 、 、 都等于侧棱长.
4.成图.顺次连结 、 、 、 、 ,加以整理,去掉辅助线改被遮挡部分为虚线.(见图3(2))
[总结提炼]
画水平放置的平面图形的直观图是本节内容的重点.在原平面图形中取 坐标系要本着简便的原则,但这种简便是相对的.事实上,无论 坐标系怎么取(其实可任意取)都能画出与它对应的 坐标系,并能找到原坐标系下图形的各顶点在新坐标系 下的对应点的位置.
(四)布置作业
(1)课本P45练习 1.
(2)课本P45练习 2.
(3)课本P46练习 9.7 6.
[参考答案]
略.
(五)板书设计
1.平面图形的直观图 (投影) |
例1 2直棱柱的直观图 |
例2 |
教学设计示例四
9.7 棱柱 第四课时
教学目标:
巩固复习棱柱的有关概念和性质.
教学过程:
[复习回顾]
1.棱柱的有关概念.(底面、顶点、棱、高、侧棱、对角面等)
2.特殊的四棱柱的有关概念.
3.长方体的对角线和棱长的关系,柱体的体积公式.
[探索研究]
例1 如图1,直棱柱 中, , , , 是 的中点.求证: .
证明:∵
又 为直棱柱
∴ 面
∴
∴ 面
欲证 ,根据三垂线定理,只须证
设 , , , ,因 ,所以 .于是 ,即得 .
例2 若斜三棱柱 的底面是边长为 的正三角形,侧棱长为1, .求:
(1)斜三棱柱 的侧面积;
(2)侧棱 到平面 的距离.
解:(1)如图2,过点 作 ,交 于 ,连 .因 , , 为公共边,∴△ ≌△ ,故有 , ,所以 平面 , .又∵ .所以 平面 , ,故
因为 , , ,所以,有
.
(2)过 作 , 交 于 ,则 为 中点.因 ,由(1)知 ,故 平面 ,即 为 到平面 的距离.
.
老师点评:△ 实际上就是斜三棱柱 的直截面.
例3 如图1,正三棱柱 的底面边长为 ,在侧棱 上截取 ,在侧棱 上截取 ,过 作截面.
(1)求截面面积;
(2)求证:截面 侧面 .
解:(1)因为侧面是矩形所以易求得 , ,取 的中点 ,连结 ,则 .
∴
所以 .
(2)证法一:取 的中点 ,连结 ,则 且 ,又 , ,所以四边形 是平行四边形,得 .
∵ ,∴ (∵ ),又 ,∴ 面 .
∴ 面 ,而 面
∴截面 侧面 .
证法二:取 中点 ,连结 、 易证面 面 ,而 面
∴ ,又
∴ 面
∴面 侧面
证法三:(计算二面角 的平面角为 )
连结 ,∵ , 为 中点,所以 ,所以 是二面角 的平面角,易求得 , ,∵ ,∴
∴面 面 .
教师点评:以棱柱为载体考查线、面之间的位置关系的问题是常见的一种题型.解决这类问题时,必须应用棱柱的有关性质,特别是直棱柱中蕴含着的线、面间的平行和垂直关系.
[演练反馈]
底面是菱形的直菱柱,它的对角线的长分别为9和15,高为5,则棱柱的侧面积为________.
[参考答案]
160.
[总结提炼]
棱柱的定义及性质为我们提供了丰富的已知条件,在解题时要注意灵活运用.
(四)布置作业
1.课本P46习题9.7 9.
2.课本P46习题9.7 10.
3.如图1,在正三棱柱 中, .
(1)求证: ;
(2)求二面角 的平面角的正切值.
4.已知:平行六面体 的底面 是菱形,且 .
(1)证明: ;
(2)设 , .记面 为 ,面 为 ,求二面角 的平面角的余弦值.
[参考答案]
1.
2.
3.略.
4.(1)略. (2)
(五)板书设计
1.复习 2.例题 例1 |
例2 例3 |
练习 |