第七节 棱柱
典型例题(一)
例1 设有四个命题:
①底面是矩形的平行六面体是长方体;
②棱长都相等的直四棱柱是正方体;
③有两条侧棱都垂直于底面一边的平行六面体是直平行六面体;
④对角线相等的平行六面体是直平行六面体.
其中真命题的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
分析:命题①是假命题.因为底面是矩形的直平行六面体才是长方体.底面是矩形,侧棱不垂直于底面,这样的四棱柱仍是斜平行六面体;
命题②是假命题.底面是菱形,底面边长与棱长相等的直四棱柱不是正方体;
命题③是假命题.因为有两条侧棱垂直于义面一边不能推出侧棱与底面垂直.
命题④是真命题,如图所示,平行六面体 中所有对角线相等,对角面 是平行四边形,对角线 ,所以四边形 是矩形,即 ,同理四边形 是矩形,所以 ,由 知 底面 ,即该平行六面体是直平行六面体.
故选A.
说明:解这类选择题的关键在于理清各种棱柱之间的联系与区别,要紧扣底面形状及侧棱与底面的位置关系来解题.
下面我们列表来说明平行四边形与平行六面体的性质的“类比”,由此,我们可以发现立体几何与平面几何许多知识是可以进行类比的.见表
表
平行四边形 |
平行六面体 |
①对边平行且相等 |
①相对的侧面平行且全等 |
②对角线交于一点,且在这一点互相平分 |
②对角线交于一点且在这一点互相平分 |
③四条边的平方和等于两条对角线的平方和 |
③十二条棱的平方和等于四条对角线的平方和 |
例2 如图,正四棱柱 中,对角线 , 与侧面 所成角为 ,求:(1) 与底面 所成角;(2)异面直线 与 所成角;(3)正四棱柱的全面积.
分析:正四棱柱是一种特殊的长方体,它的两底面 、 是正方形,长方体中有比较多的线面垂直关系,而线面垂直关系往往是解决立体几何问题的关键条件.题中无论是已知线面成角,还是求线面成角,都要把它们转化为具体的角,落实线面成角,先要找线面垂直关系.异面直线 与 所成角通过 ,落实为具体的 .正四棱柱各个面都是矩形,求面积只要用矩形面积公式.
解:(1)在正四棱柱 中,
∵ 面 ,
∴ 是 与侧面 所成角,即 .
∵ ,∴ , ,
∵ 是正方形,∴ ,
平面 ,∴ 是 与底面 所成角,
在 △ 中, , ,
∴ ,∴ ,
即 与底面 所成角为 .
(2)∵ ,
∴ 是 与 所成角(或补角).
∵ 平面 ,∴ ,
△ 中, , ,
∴ ,∴ ,
即异面直线 与 所成角为 .
(3) △ 中, , .
∴ ,
∴ .
说明:长方体是一种特殊的棱柱,充分感受其中丰富的线面垂直、线线垂直关系是灵活解题的关键,各种垂直关系是解决立体几何中证明和计算的重要条件,可以看下面例子.
例3 如图,已知长方体 中,棱长 , ,求直线 与平面 的距离.
分析:求直线到平面的距离,首先要找直线上的点到平面的垂线,而找平面的垂线的一个很有用的思路是,找平面内一条直线与某一平面垂直,这里我们不难看出,长方体中有 平面 ,这样,只要作 ,又有 ,得到 平面 .
解:长方体 中,有 平面 ,过 作 于 ,又有 ,
∴ 平 ,即 是 到平面 的距离.
在 △ 中,由已知可得, , ,
∴ ,∴ .
即 是 到平面 的距离为 .
说明:长方体中有棱与面的线面垂直关系,正方体除此之外,还有对角线与对角面的线面垂直关系,比如,求正方体 中, 与面 所成角.这里,要找 与 所成角,必须找 到平面 的垂线,因为 面 ,在对角面 内,过 作 于 ,则 ,所以 面 ,可以得到 为 与面 所成角,在对角面 中可计算 .
例4 如图,已知直三棱柱 中, , 为侧棱 上一点, , .(1)若 为 的中点, 为 上不同于 、 的任一点,求证: ;(2)若 ,求 与平面 所成角的大小.
分析: 点在 上变化, 为平面 内变化的一组相交直线(都过定点 ),要证明 与 垂直,必有 平面 .求 与平面 所成角的关键是找 到面 的垂线,从而落实线面成角,直三棱柱中,侧棱 平面 给找点 到面 的垂线创造了方便的条件.
解:(1)∵ ,且 是 的中点,∴ ,
又∵ 直三棱柱中 平面 ,∴ ,
∴ 平面 ,∴ .
在矩形 中, , ,
∴ , , ,
∴ ,∴ ,即 ,
∴ 平面 ,∴ .
(2)过 作 于 ,∵ 平面 ,∴ ,
∴ 平面 ,连接 , 是 与平面 所成角.
在等腰△ 中, , ,∴ ,
在等腰△ 中,由面积相等可得, ,
∴ ,又 ,
在 △ 中, ,
∴ ,
即 与平面 所成角为 .
说明:由于点 在 上变化,给思考增加了难度,但仔细思考,它又提供了解题的突破口,使得线线垂直成为了 与一组直线垂直.本题的证明还有一个可行的思路,虽然 在 上变化,但是由于 平面 ,所以 点在平面 上的射影是定点 , 在平面 上射影为定直线 ,使用三垂线定理,可由 ,直接证明 .三垂线定理是转化空间线线垂直为平面内线线垂直的一个有力工具,再看一个例子,正方体 中, 是底面 的中心, 是 上动点, 是 中点,求 与 所成角.我们取 中点 ,虽然 点变化,但 在面 上射影为定直线 ,在正方形 中,易证 ,所以, ,即 与 所成角为 .
典型例题(二)
例5 如图,正三棱柱 的底面边长为4,侧棱长为 ,过 的截面与底面成 的二面角,分别就(1) ;(2) 计算截面的面积.
分析:要求出截面的面积,首先必须确定截面的形状,截面与底面成 的二面角,如果 较大,此时截面是三角形;但是如果 较小,此时截面与侧棱不交,而与上底面相交,截面为梯形.
解:截面与侧棱 所在直线交于 点,取 中点 ,连 、 ,
△ 是等边三角形,∴ ,
∵ 平面 ,∴ .
∴ 为截面与底面所成二面角的平面角,
∴ .
∵等边△ 边长为4,∴ .
在 △ 中, .
(1)当 时, 点在侧棱 上,截面为△ ,
在 △ 中, ,
∴ .
(2)当 时, 点在 延长线上,截面为梯形 ,
∵ , ∴ 是△ 的中位线,
∴ .
说明:涉及多面体的截面问题,都要经过先确定截面形状,再解决问题的过程,本例通过改变侧棱长而改变了截面形状,我们也可以通过确定侧棱长,改变截面与底面成角而改变截面形状.
例6 斜三棱柱 中,平面 底面 , , , , ,且 .
(1)求 与平面 所成角;
(2)求平面 与平面 所成二面角的大小;
(3)求侧棱 到侧面 的距离.
分析:按照一般思路,首先转化条件中的面面垂直关系,由 ,取 的中点 ,连 ,则有 ,从而有 平面 ,在此基础上, 与底面所成角以及平面 与底面所成二面角都能方便地找到,同时 底面 也为寻找 点到面 的垂线创造了条件.
解:(1)取 的中点 ,连接 ,
∵ ,∴ ,∵平面 底面 ,
∴ 底面 ,∴ 为 与底面 所成角.
∵ 且 ,∴ .
(2)取 中点 ,则 ,
∵ ,∴ ,∴ .
连 ,∵ 底面 ,∴ 在平面 上射影为 ,
∴ ,∴ 为侧面 与底面 所成二面角的平面角.
在等腰 △ 中, ,∴ .
在 △ 中, ,∴ .
在 △ 中, ,
∴ ,即侧面 与底面 所成二面角的大小为 .
(3)过 作 于 ,
∵ 底面 ,∴ ,∴ 平面 ,
在 △ 中, , ,∴ ,
∴ ,即 到平面 的距离为 .
说明:简单的多面体是研究空间线面关系的载体,而线面垂直关系又是各种关系中最重要的关系,立体几何中的证明与计算往往都与线面垂直发生联系,所以在几何体中发现并使用线面垂直关系往往是解题的关键,继续看下面例子.
例7 斜三棱柱 的底面△ 是直角三角形, , , 在底面上的射影 恰好是 的中点,侧棱与底面成 角,侧面 与侧面 所成角为 ,求斜棱柱的侧面积与体积.
分析: 在底面 上射影 为 中点,提供了线面垂直 平面 ,另外又有 ,即 ,又可以得到 平面 ,利用这两个线面垂直关系,可以方便地找到条件中的线面角以及二面角的平面角.
解:∵ 在底面 上,射影 为 中点.
∴ 平面 .
∴ 为侧棱 与底面 所成角,即 ,
∵ ,即 ,又 ,
∴ 平面 ,过 作 于 ,连接 ,则 .
∴ 是侧面 与侧面 所成二面角的平面角,
∴ ,
在直角△ 中,∵ , ,∴ ,
在直角△ 中,∵ , ,
∴ , ,
在直角△ 中, , ,
∴ , .
∴侧面积为
.
体积为 .
说明:本例中△ 是斜棱柱的一个截面,而且有侧棱与该截面垂直,这个截面称为斜棱柱的直截面,我们可以用这个截面把斜棱柱分成两部分,并且用这两部分拼凑在一个以该截面为底面的直棱柱,斜棱柱的侧面积等于该截面周长乘以侧棱长,体积为该截面面积乘以侧棱长.