第七节 相互独立事件同时发生的概率
(一)教材分析
1.知识结构
2.重点难点分析
重点是相互独立事件及其同时发生的概率和独立重复试验,难点是建立在n次独立重复试验中共事件恰好发生k次的概率计算公式.
(1)理解相互独立事件应当注意区别“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念.前者指两个事件不可能同时发生,后者指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响.一般,两个事件不可能既互斥又相互独立,因为相互独立事件是以它们能够同时发生(如果其 中没有不可能事件)为前提的.要通过实例对比,加深理解.
(2)正确理解相互独立事件同时发生的概率
①两个相互独立事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率的积,即
.
②一般地,如果事件 相互独立,那么 个事件同时发生的概率,等于每个事件发生的概率之积,即 .
注意:公式①适用的前提是 、 为互相独立事件;同样地,只有当 为相互独立事件时公式②才成立.
学习相互独立事件同时发生的概率乘法公式时,应注意相互独立事件的概率乘法公式只适用于相互独立事件,否则公式不能使用.如果所求事件是n个事件积的事件,用乘法公式求它的概率时,要突出强调这n个事件是相互独立的,否则公式同样不能使用.
(3)判断相互独立事件的关键
首先注意:“互斥”和“相互独立”是不同的两个概念:“互斥”指两个事件不能同时发生,而“相互独立”指一个事件是否发生不影响另一个事件的发生.显然两事件不可能既互斥(彼此发生有影响)又相互独立(彼此是否发生互不影响).如果事件 与 是互相独立事件则: 与 , 与 , 与 ,也都是互相独立事件.
要注意,相互独立的几个事件,任一事件的发生,对其各个事件是否发生没有影响.但其中若干事件同时发生的事件可能对其余某一事件发生有影响.
(4)理解 次独立重复试验恰发生 次的概率公式
首先理解独立重复试验:指同样的条件下,重复地各次之间相互独立地进行的一种试验,也称为贝努力里试验.若在一次试验中某事件发生的概率是 ,那么在 次独立重复试验中这一个事件恰好发生 次的概率为 .进行 次试验,试验的总结果中有些结果是 发生,其余是 发生,总结果是这样若干个 与若干个 的一种搭配.总结果中事件 恰好发生 次,则 发生 次,就是 个 与 个 的一种搭配.而符合条件的搭配种类又同, 和 出现的先后次序不同有关.在 次试验的总结果中,含 个 和 个 的搭配种类,相当于从 个号码中任取 个号码的不同取法的种数,共有 种,而所有这些搭配显然都是等可能的、且互斥,然后再根据相互独立事件的概率乘法公式,满足上述要求的每一种搭配发生的概率都是 .
如果把 次独立重复试验中事件 恰好发生 次的概率记为 ,根据上述分析,可得为 .
对上述公式要理解好,这对于灵活使用公式至关重要.
(5)二项分布与二项式定理的联系.
由于在 次独立重复试验中,事件 恰好发生 次的概率为: .
如果令 ,利用二项展开式:
可见 就是 的展开式中的第 项,所以也把 叫二项分布公式,更进一步, 次独立重复试验中事件 至少发生 次概率为:
.设 则 且 ,正好是 的二项式展开式中的第 项且 .
即: , .
有的书将公式 叫做二项概率公式.
(二)教法建议
1.建议从实例中引入相互独立事件的概念,以引起学生学习的兴趣.
2.教学中应强调一些容易混淆的概念之间的联系与区别,如弄清“相互独立事件”与“互斥事件”的区别与联系.
3.教师要强调运用各个公式的前提条件,防止学生在没有分清前提条件下就滥用公式.如应用独立事件同时发生的概率公式时,应注意两个前提:①事件之间相互独立;②这些事件同时发生.教学中还要注意对学生计算中出现的一些典型错误进行认真剖析.
4.在 次独立重复试验中,事件 恰好发生 次的概率 ,对这个公式应联系二项展开式的通项公式.
5.教学要在教学中向学生逐渐灌输解决有关概率问题的一般思路.一般来讲,要先判断问题中有哪些简单事件,并用字母(如 等)表示出来,再用 或 、 、 的函数式于将所求事件表达出来,这其中往往要用到些运算律,如 等.最后,恰当地选取概率的加法或乘法公式,求出所求事件的概率.