第七节相互独立事件同时发生的概率

作者：未知来源：中央电教馆时间：2006/4/8 18:03:15阅读：nyq

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教学设计方案一

10．7 相互独立事件同时发生的概率第一课时

教学目标：

　　理解独立事件的意义，掌握独立事件同时发生的概率的计算公式，并能应用概率乘法公式计算一些独立事件同时发生的概率．

教学过程：

　　[设置情境]

　　（1）一个坛子里有6个白球，3个黑球，l个红球，设摸到一个球是白球的事件为，摸到一个球是黑球的事件为，问与是互斥事件呢，还是对立事件？

　　（2）甲坛子里有3个白球，2个黑球；乙坛子里有2个白球，2个黑球．设从甲坛子里摸出一个球，得到白球叫做事件，从乙坛子里摸出一个球，得到白球叫做事件．问与是互斥事件呢？还是对立事件？还是其他什么关系？

　　（3）在问题（2）中，若记事件与事件同时发生为，那么与及有什么关系呢？它们之间有着某种必然的规律吗？

　　[探索研究]

　　1．独立事件的定义

　　我们把“从甲坛子里摸出1个球，得到白球”叫做事件，把“从乙坛子里摸出1个球，得到白球”叫做事件．很明显，从一个坛子里摸出的是白球还是黑球，对从另一个坛子里摸出白球的概率没有影响．这就是说，事件（或）是否发生对事件（或）发生的概率没有影响，这样的两个事件叫做相互独立事件．

　　事件间的“互斥”与“相互独立”是两个不同的概念，两个事件互斥是指这两个事件不可能同时发生，两个事件相互独立是指其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．一般地，如果事件与相互独立，那么与，与，与也都是相互独立的．

　　2．独立事件同时发生的概率的计算公式

　　“从两个坛子里分别摸出1个球，都是白球”是一个事件，它的发生，就是事件、同时发生，记作．这样我们需要研究，上面两个相互独立事件，同时发生的概率是多少？

　　从甲坛子里摸出1个球，有5种等可能的结果；从乙坛子里摸出1个球，有4种等可能的结果，于是从两个坛子里各摸出1个球，共有种等可能的结果，表示如下：

　　（白，白）（白，白）（白，黑）（白，黑）

　　（黑，白）（黑，白）（黑，黑）（黑，黑）

　　在上面5×4种结果中，同时摸出白球的结果有3×2种．因此，从两个坛子里分别摸出1个球，都是白球的概率．

　　另一方面，从甲坛子里摸出1个球，得到白球的概率

　　从乙坛子里摸出1个球，得到白球的概率

　　由，我们看到

　　这就是说，两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积．

　　一般地，如果事件，，…，相互独立，那么这个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即：

　　3．例题分析

　　例1 一袋中有2个白球，2个黑球，做一次不放回抽样试验，从袋中连取2个球，观察球的颜色情况．记“第一个取出的是白球”为事件，“第二个取出的是白球”为事件．试问与是不是相互独立事件？

　　（由一名学生回答后，教师讲解）

　　答：不是．因为事件发生时（即第一个取到的是白球），事件发生的概率；而当事件不发生时（即第一个取到的是黑球），事件发生的概率．也就是说，事件的发生与否影响到事件发生的概率，所以与不是相互独立事件。

　　例2 如果事件与事件是互斥事件，下列四个命题中哪些是正确的？为什么？

　　（1）与是对立事件；

　　（2）与是互斥事件；

　　（3）与是相互独立事件；

　　（4）与是相互独立事件．

　　（由学生自答后，教师说明理由）

　　答：都不正确．与为互斥事件是与为对独立事件的必要不充分条件，因而①不成立；互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而相互独立事件是可以同时发生的两个事件，则④不成立；由此可知③也不成立；事件、互斥，从集合的角度看，是、各自的结果组成的集合的交集为空集，而、各自结果组成的集合的交集并非一定等于空集，因此②也不成立．

　　例3 制造一种零件，甲机床的正品率是，乙机床的正品率是，从它们制造的产品中各任抽1件．

　　（l）两件都是正品的概率是多少？

　　（2）恰有1件是正品的概率是多少？

　　解：记“从甲机床制造的产品中任意抽出一件是正品”为事件，“从乙机床制造的产品中任意抽出一件是正品”为事件，由于甲（或乙）机床制造正品与否，对乙（或甲）机床生产正品的概率没有影响，因此与是相互独立事件．

　　（1）“两件都是正品”就是事件发生，因此所求概率为

　　（2）“恰有一件是正品”包括两种情况：甲是正品，乙是次品（事件发生）；甲是次品，乙是正品（事件发生），因此所求的概率是

　　或另解为：所求的概率为：

　　[演练反馈]

　　1．对于某数学问题，甲、乙两人独立解出该题的概率分别为、，求两人都解出该题的概率．

　　（由一名学生板演后，教师强调两个事件是相互独立事件）

　　2．制造一种产品需要经过三道相互独立的工序，第一道工序出一级品的概率为，第二道工序出一级品的概率为，第三道工序出一级品的概率，试求这种产品出一级品的概率？

　　（由一名学生板演后，教师讲解）

　　3．有两批种子，其发芽率分别为和，在每批种子里各随机抽取一粒，求：

　　（1）至少有一粒发芽的概率．（2）恰好有一粒发芽的概率．

　　[参考答案]

　　1．提示：；

　　2．提示：

　　3．（l）提示：

　　　　（2）提示：

　　[总结提炼]

　　两个事件相互独立，是指它们其中一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件是不可能同时发生的，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提的．相互独立事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，这一点与互斥事件的概率和也是不同的．

板书设计

10．7 相互独立事件同时发生的概率（一）

（一）设置情境

问题1

问题2

（二）相互独立事件同时发生的概率

（三）例题分析

例1

例2

例3

练习

（四）小结

教学设计方案二

10．7 相互独立事件同时发生的概率第二课时

教学目标：

　　复习相互独立事件的定义和相互独立事件同时发生的概率；了解概率的和与积的互补公式；能利用对立事件、互斥事件的概率简化某些计算．

教学过程：

　　[设置情境]

　　有三批种子，其发芽率分别为、和，在每批种子中各随机抽取一粒，求至少有一粒种子发芽的概率．

　　分析：设第一批种子发芽为事件，同样第二、三批种子发芽分别为事件、，设至少有一粒种子发芽为事件，则

　　又其中、互斥，所以

　　又、、相互独立，所以

　　同理可算出等号右边的其他各项．

　　师问：这种计算方法复杂吗，是否可以找到更简单的解法呢？

　　[探索研究]

　　1．概率的和与积的互补公式

　　一般地，对于个随机事件，，…，，事件表示事件，，…，至少有一个发生，表示事件，，…，都发生，即，，…，都不发生．显然与是两个对立事件，由两个对立事件的概率和等于1，可得

　　这个公式叫做概率的和与积的互补公式，它在概率的计算中常用来简化计算．

　　利用这个公式，上面至少有一粒种子发芽的概率为

　　2．例题分析

　　例1 甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的概率都是．

　　计算：（1）两人都击中目标的概率；

　　　　　（2）其中恰有一人击中目标的概率；

　　　　　（3）至少有一人击中目标的概率．

　　解：记“甲射击一次，击中目标”为事件，“乙射击一次，击中目标”为事件．由于甲（或乙）是否击中，对乙（或甲）击中的概率没有影响，因此与是相互独立事件．

　　（l）“两人各射击一次，都击中目标”就是事件发生，因此所求概率为

　　（2）“两人各射击一次，恰有一人击中目标”包括两种情况：甲击中，乙未击中（事件发生）；甲未击中，乙击中（事件发生），因此所求概率为：

　　（3）解法1：“两人各射击一次，至少有一人击中目标”的概率为

　　解法2：“两人都未击中目标”的概率是为

　　因此“至少有一人击中目标”的概率为

　　例2 如图，在一段线路中并联着3个自动控制的常开开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是，计算这段线路正常工作的概率．

　　解：分别记这段时间内、、能够闭合为事件、、，由题意，这段时间内3个开关是否能够闭合相互之间没有影响．根据相互独立事件的概率乘法公式，这段时间内3个开关都不能闭合的概率是

　　于是这段时间内至少有一个开关能够闭合，从而使线路能正常工作的概率是

　　[演练反馈]

　　1．甲、乙、丙三人独立地去破译一个密码，他们能译出的概率分别为、、，则此密码能译出的概率为（）

　　A．　　B．　　 C．　　D．

　　2．两台机床加工同样的零件，第一台出废品的概率是，第二台出废品的概率是．加工出来的零件堆放在一起．若第一台加工的零件是第二台加工的零件的2倍，求任意取出的零件是合格品的概率．

　　（由一名学生板演后，教师讲解）

　　3．用某种方法来选择不超过100的正整数，若，那么选择的概率是；若，那么选择的概率是，求选择到一个完全平方数的概率．

　　（学生思考后，教师讲解）

[参考答案]

　　1．A

　　2．解：记“任意取出的零件是合格品”为事件，则“任意取出的零件是废品”为．由于

　　∴

　　3．解：记“ 选择 ”为事件，则“ 选择 ”为事件，由对立事件的概率和等于1，有：， ∴ 即，选择的概率为，选择的概率为，又由于在不超过100的正整数中完全平方数有1、4、9、16、25、36、49、64、81、100，其中小于等于50的有7个，大于50的有3个，也就是说，时选择到一个完全平方数的概率为，时选择到一个完全平方数的概率为，故在不超过100的正整数中选择到一个完全平方数的概率是