归纳函数

　　归纳函数，演绎函数——从函数与化学的联系谈起

　　学完了必修四，我们在高中阶段已经把基本初等函数全都学完了，必修一学的是基本初等函数1：指数函数、对数函数、幂函数。必修四学的是基本初等函数2：三角函数。现在我们有必要把函数知识体系做一下总结。

　　有关这个问题，我打算从函数与化学的一个联系谈起。我们知道化学是一门研究物质的组成、结构、性质、以及变化规律的学科。而数学中的函数其实也有类似的特点，研究函数的组成、结构、性质、以及变化规律：函数的三个组成部分：集合A（与函数的定义域问题有关），集合B（与函数的值域问题有关），对应法则f(与函数的解析式问题有关）。函数的四个基本性质：单调性、周期性、有界性（即最值性）、奇偶性。五种基本结构：指数结构、对数结构、幂结构、三角结构、反三角结构（现行教材已经删除）。变化规律：在函数问题当中，我们通常遇到的不是最简单的指数函数、对数函数、幂函数和三角函数，而是把他们进行复合，变化出一些比较复杂的函数，在变化过程中有一些相应的规律，比如平移变换规律，伸缩变换规律和对称变换规律等等。

　　学习当中有两个境界需要经历，一个境界是：把厚书读薄，即运用归纳法进行集中思维，把相关知识点高度浓缩，比如刚才所总结的函数知识体系，运用类比的方式把函数知识概括到了最简练形式，就像武术家练武一样，要经历举重若轻这一层境界。

　　另一层境界是把薄书读厚，即运用演绎法进行发散思维，把相关知识向外引申，向骨架中填充血肉，使之丰满。比方说刚才所总结的函数知识体系，我们可以演化出相应的很多专题，例如求定义域的题型包括的相关限制条件有：应使分式的分母不为零、使偶次根式的被开方数大于零、零次幂的底数不为零、指数对数函数的底数大于零且不等于1、对数函数的真数大于零、遇到实际问题，除了使函数式有意义之外还要使实际问题有意义、由以上类型复合的函数定义域应使每一部分都有意义，即取交集、抽象函数求定义域要把握两个原则：要知道定义域的含义是指单个X的取值范围；共用同一个对应法则的两个函数，各自所作用的整体变量范围是一致的。求解析式的题型有：直接代入法、换元法、待定系数法、解方程组法、转化法、赋值法。求值域的题型有：换元法、配方法、单调性法、图像法、判别式法、几何法、不等式法、有界法、求导法等等。相应的函数的四个基本性质的题型也都可以类似做出总结，在此不一一列举了。再比如说，我们画出了正弦函数的图像，有的学生死活看不出东西，通过图像解读不出有用的信息，有了条件不会用，这是一种悲哀。说到底无非说明他们缺乏发散思维的能力，对知识体系缺少整体把握，不知从哪里入手去研究，如果利用刚才所总结的函数知识体系去发散的话，就有的放矢了：实际上正弦函数图象里面蕴含着很多信息，几乎囊括了函数里面的全部知识点：定义域可以看出来，值域可以看出来，函数的四个基本性质：单调性、周期性、有界性（即最值性）、奇偶性也都可以看出来，这就是所说的给了条件想性质，要充分挖掘已知条件里面的信息，要知道我们全指望这些已知条件来解决问题。

　　经历了这两层境界之后，才可以进入到第三境界，灵活运用的阶段，不论对于什么问题都可以信手拈来，就像武林高手飞花摘叶皆可伤人或者如苏轼写文章所达到的境界一样，嬉笑怒骂皆成文章。

　　最后我用王国维在人间词话中的三句话结束本文：古今之成大事业、大学问者，必经过三种之境界：昨夜西风凋碧树。独上高楼，望尽天涯路。

　　衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴。

　　众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在，灯火阑珊处。

　　学问之道，博大精深，长到老学到老，希望各位同仁共勉。