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简介:
本压缩包含 2013年高中数学联赛江苏省初赛参考答案(PDF格式).pdf文件 ⒛13年全国高中数学联赛江苏赛区 初赛参考答案与评分细则 -、填空题(本题满分⒛ 分,每小题7分) 1.设方程 '-2″ 苈+'-1=o的根大于-2,且小于4,则实数昭的范围是____' 答案:-1(坳(3. 解:方程 '-2彻 +99c2-1=0的两根为:汕=昭-1,砀=昭+1. 由题设得 {篇∶∶∶「 2’ 解之得-1<昭<3。 2.从6双不同号码的鞋中取出4只,至少配成一双的概率为 。 答案:菇。 雠P= 菇· 3.设实数艿,`满足 '— Hir+'+3=0,则 '+'的 最大值与最小值之差是~。 答案:8。 解:由题意知,点α,,/,J在圆C:←一勾 2+`2=1上,'+`2表示圆C上的点到原点距离 的平方,其最大值为9,最小值为1.因此 '+'的 最大值与最小值之差为8。 4.若存在正实数c,3满足⒄+3i)刀=@~3i)刁C是虚数单位,刀∈NV,则刀的最小值 是 。 答案:3. 解:当刀=1,2时,经计算,不存在正实数c,D,满足@+3i)刀=@_3i)刀. 当刀=3时,取c=:,3=誓,使得o+D◆ 刀=⒄ ~吖=刊。 故刀的最小值是3. 5.若三角形刀r的三边'锣,BC,'C成等差数列,则Z'的取值范围是____。 答案:⑩ ,争。 解:令A/BC的角×,B,C所对的边分别为夕,3,c。由题意知勿=D+c. 由余弦定理矢口 筐 壳蒜F茎=骅3c 3° _c)2+劬c 83c · 因为D,c是正实数,所以co“ ≥;等号成立当且仅当3=⒍ 由0(彳(‰ 矢口0(彳≤詈。 ⒛13年全国高中数学联赛初赛参考答案第1页共5页 6.若数列彻刀)满足%=9,@刀+1^曰刀 ~1)⒄ 刀+1一饧刀)± 0⒄ ∈Nxl,则满足条件的臼的所有可 能值之积是~。 答案:0。 解:由⒄ ″+1— c刀 ˉ 1)(9,z+1-3c刃)=0知四刀饲 ~C刀ˉ 1=0或c刀 "-3四 刀=0。 因为%=9,所以臼可能为3。同理饧可能为1,从而推知c1可能为0. 因此,符合条件的一个数列的前四项可以是0,1,3,4。 故满足条件的饵的所有可能值之积是0. 7.已知炯='-9⒋ +⒛13,则笈∝o+ⅨoD=_____. ,o=30 答案:364. 解:灭3⑴ =93,灭31)=60,灭3㈥=29丿灭33)=0. 当刀=34,35,? ,ω 时,灭⑷(0。 所以笈∝刀)+|灭″)D=2×臼3+ω +29)=364。 99=30 8.设炳 `∈ m,刎,且满足⒉血c唧+s血+c唧=一 去贝刂苋+`的最大值为___= 答案:驾宀 解:由厶血cov+sim+cov=—:,得(2⒍1hˉ+1)(2∞ V+1)=0. F9f以血J=— :, J或 cOEv=— :。 所以F窘或戋吕此时 `可 以取山,刎内的任意值; 或厂≠争琵瞥,此时艿可以取p,刎内的任意隹 所以豸+`的最大值为爿笋 +2冗=气| 9.已知正四面体力KD的棱长为9,点P是面 'BC上 的一个动点,满足P到面Ω锣,DBC, Dα 的距离成等差数列,则P到面Dα 距离的最大值是~。 答案:2雨。 解:记点P到面D'侣,DBC,DG4的距离分别为砒,此,呢, 则 'I+饧 +叱为正四面体彳B‘D的高hR 由 '1,饧 ,吨成等差数列,故P到面Dα 距离的最大值为纳R 2013年全国高中数学联赛初赛参考答案第2页共5页 10.将小王与小孙现在的年龄按从左至右的顺序排列得到一个四位数,这个数为完全平方 数.再过31年,将他们俩的年龄以同样方式排列又得到一个四位数,这个数仍为完全 平方数。小王现在的年龄是~. 答案:12。 解:设小王现在的年龄是日,小孙现在的年龄是3。 设ε有昭个数字,D有刀个数字,由已知得勿+刀=4。 如果庇<2,那么刀≥3,但在31年后,¢是2位数,这与题意不符. 由对称性,知刀也不小于2,从而昭=刀=2。 设按照题中要求顺序排列的平方数依次为 '和 /,0(艿(`, 贝刂 '='+3131,即 o=θ o+D=31× 101. 又0(豸<`,故 `=艿 =31且 '+艿 =101,于是推得←,D=(35,甾). 因此 '=12乃 和 '=侣 56,从而推得小王是12岁,小孙是犭岁. 二、解答题(本题满分gO分,每小题⒛ 分) ⒒ 设庀为娥κ 【⒍ 椭圆廴呷巾与椭圆砀●喾+'剖交于点批 £1的左顶点为B,马的右顶点为D臼口图).若四边形⒕B‘D是芷方形,求实数佬。 ' 武 @ × (第11题图) 解由甲+'剖与喾勹饪△ 得←艹′钊,解叫 。 将其代入 喾 +'=L得 '点 的纵坐标为 '=立 丧∶ Z. ???????¨10分 因为四边形刀CD为正方形,根据对称性知BD='C。 又义-3+庀,⑴ ,D(3,⑴ ,则BD=6一庀;'C=v瓦=7. ¨¨¨¨¨???叫5分 刚← 仁」互 手 ≡黾Fx,ls/c一缈 —0扎 解得庀=∝舍去)或庀=管. 所以庀=管。 ??????叩分 ⒛13年全国高中数学联赛初赛参考答案第3页共5页 ⒓。如图,梯形屈CD中,B、D关于对角线彳C对称的点分别是卩、P,'、C关于对角线 BD对称的点分别是 '∫ 、C′。证明:四边形彳罗CD′是梯形。 (第12题图) 证明:如图,B、D关于对角线/C对称的点分别是刀、罗, 则BD与BP交于BD和 'C的 交点@。???? 5分 由对称得BB∥DD1所以 篙=g箦 又Z、C关于对角线BD对称的点分别是彳′、卩, 同理嚅孓篇。 因为梯形中BC〃加,贝 吒膏=肜=箬≠L z 所以篝=篇≠⒈ 所以B甲∥ 'D′ ,且尸σ≠彳D′ , 所以四边形 '9CD∫ 是梯形。 ??????????10分 ????????????·20分 13.设实数c,3满足∝勒 铹 连D≤ 1,证明:绨一⑶≤c∝昭—cos砧. 证明:设炯=ztˉ+∞s硝,欲证不等式转化为灭D丫顶伤). 由于/伽)=2— 鹏in砑,/″⑺ =~′∞sπ . 当艿∈ ⑩ ,勃时,/″⑺ =_'GOs庥(o,当艿∈ 61)时,/″⑺ =_'cos砑>o, 姒徇在鲫⒍ :u调庇枢吒川lLg调氍 因为/【⑴瓦巛1)=2和/0=2一丌阝0, 所以存在α和 ', 0<α (:<'(19 使得rKα)r`⒀ =o,r勹⑺(0当且仅当艿∈臼,o· ¨??????? 10分 于是函数舟)在区间lO,洌和r,刂上单调增,在区间h,用上单调减。 因为胭亻0亻⑴ =L故对于艿∈m,尝有炯≥L对于豸∈ 珐,刂有们≤⒈ 特别地, r(D)≤ 1≤√(Θ . ????????⒛ 分 2013年全国高中数学联赛初赛参考答案第4页共5页 14.正100边形 ''/3· ·以100的每个顶点染红、黄、蓝三色之一。证明:必存在四个同色点, 恰为某等腰梯形的顶点。 证明:记正100边形///3··叨100的外接圆半径为r。 把顶点分为乃个点集:弘4屠3,亻4庀2,Z伊1,彳4钅),乃=1,2,? ,乃。 每个点集中4点染3色,至少有两点同色, 此两点为端点的劣弧弧长分别为簧,哿,瓷艮一· ? ?¨ ¨? ??? 10分 弧长为筘驾孓哿,且两端同色的弧共有9种。 前10个点集中至少存在10段此类弧。 故总有两段弧 “ 同种 ”,且均在某直径一侧, 所以此两段弧四个端点构成的四边形为等腰梯形。 ¨???????zO分 2013年全国高中数学联赛初赛参考答案第5页共5页 | ||||||||||||||||||||||||||||||
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