2014年福建省高中数学竞赛

暨2014年全国高中数学联赛（福建省赛区）预赛试卷参考答案

（考试时间：2014年5月17日上午9：00－11：30，满分160分）

一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分。请直接将答案写在题中的横线上）

1．已知直线
：
，
：
，若
，则
。

【答案】

【解答】
。

2．函数
（
）的值域为 。

【答案】

【解答】
。

由
知，
，
。

3．在三棱锥
中，
，
，
，
，
。则三棱锥
的体积为 。

【答案】

【解答】如图，作
于
，连
、
、
。

∵
，
，

∴
，
，四边形
为矩形。

由
知，四边形
为正方形，且
。

又
，因此，
为正三角形，
。

∴
。于是，
。

∴ 三棱锥
的体积为
。

4．已知
、
为双曲线
：
的左、右焦点，
为双曲线
上一点，且点
在第一象限。若
，则
内切圆半径为 。

【答案】 2

【解答】设
，则
，
。

于是，
，
，
，结合
知，
为直角三角形，
。

∴
内切圆半径
。

5．已知集合
，
。若
，且
中恰有1个整数，则
的取值范围为 。

【答案】

【解答】
。

设
，则
的轴对称
。

由
，知
。

因此，
中恰有的一个整数为3。

∴
，解得
。故，
的取值范围为
。

6．若分数
（
，
为正整数）化成小数为
，则当
取最小值时，
。

【答案】 121

【解答】由
，知
，
，记
（
为正整数）。

于是，
，
。

∴
。

当
时，
，取
，
时，
最小为101。

又
符合要求。故，当
最小时，
。

7．随机地投掷3粒骰子，则其中有2粒骰子出现的点数之和为7的概率为 。

【答案】

【解答】投掷3粒骰子共有
种可能。考虑
。

投掷三粒骰子，有两粒骰子出现1和6的可能有
（种）。

（分为
，
，
，
，
，
这6种可能，每类有6种情况。其中，
，
，
，
，
，
重复出现）

同理，投掷三粒骰子，有两粒骰子出现2和5的可能与有两粒骰子出现3和4的可能均为30种。

∴ 投掷3粒骰子，其中有2粒骰子出现的点数之和为7的有
种可能。

∴ 所求概率为
。

8．已知点
，
，
。平面区域
由所有满足
（
，
）的点
组成的区域。若区域
的面积为8，则
的最小值为 。

【答案】 4

【解答】如图，延长
至点
，延长
至点
，使得
，
。

四边形
、
、
均为平行四边形。

由条件知，点
组成的区域
为图中的阴影部分，即四边形
（不含边界
、
）。

∵
，
，
。

∴
，
，
，
，
。

∴ 四边形
的面积为
。

∴
，
。

由
，
知，当且仅当
，即
时，
取最小值4。

9．
被63除的余数为 。（符号
表示不超过
的最大整数。）

【答案】 56

【解答】∵ 对任意正整数
，
与
均不是整数，且
。

∴ 对任意正整数
，
。

∴
。

10．若
，
，
为关于
的方程
的三个实根，则
的最小值为 。

【答案】

【解答】依题意，有
。

∴
。

∴
，
。

∴
。

。

∴
，
，
中至少有一个成立。不妨设
，
。

∴
。

设
，则
。

∴
时，
；
时，
。
在
上为减函数，在
上为增函数。

∴
有最小值
。此时，
，
，
或
，
，
。

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分。要求写出解题过程）

11．已知
为递增的等比数列，且
，
。
，数列
的前
项和为
，求证：对一切正整数
均有，
。

【解答】设
的公比为
，则
。

由
，
，知
，
。

∴
。 …………………………… 5分

∴
。

∵
时，

，

…………………………… 10分

∴
时，

。

……………………………… 15分

又
时，
。

∴ 对一切正整数
均有
。 …………………………… 20分

12．已知
为椭圆
：
的右焦点，椭圆
上任意一点
到点
的距离与点
到直线
：
的距离之比为
。

（1）求直线
方程；

（2）设
为椭圆
的左顶点，过点
的直线交椭圆
于
、
两点，直线
、
与直线
分别相交于
、
两点。以
为直径的圆是否恒过一定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由。

【解答】（1）
，设
为椭圆
上任意一点，依题意有
。

∴
。将
代入，并整理得
。

由点
为椭圆上任意一点知，方程
对
的
均成立。

∴
，且
。解得
。

∴ 直线
的方程为
。 …………………… 5分

（2）易知直线
斜率不为0，设
方程为
。

由
，得
。

设
，
，则
，
。 …………… 10分

由
，知
方程为
，点
坐标为
。

同理，点
坐标为
。 ………………… 15分

由对称性，若定点存在，则定点在
轴上。设
在以
为直径的圆上。

则
。

∴
。

即
，
，
或
。

∴ 以