2015年全国高中数学联赛江苏赛区

初赛参考答案与评分细则

一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上．）

1．已知点P(4，1)在函数f(x)＝loga(x－b) (b＞0)的图象上，则ab的最大值是 ．

解：由题意知，loga(4－b)＝1，即a＋b＝4，且a＞0，a≠1，b＞0，从而ab≤＝4，

当a＝b＝2时，ab的最大值是4．

2．函数f(x)＝sin(2x－)在x＝ 处的值是 ．

解：2x－＝－＝＝＝2π＋，所以f()＝sin＝－．

3．若不等式|ax＋1|≤3的解集为{x |－2≤x≤1}，则实数a的值是 ．

解：设函数f(x)＝|ax＋1|，则f(－2)＝ f(1)＝3，故a＝2．

4．第一只口袋里有3个白球、7个红球、15个黄球，第二只口袋里有10个白球、6个红球、9个黑球，从两个口袋里各取出一球，取出的球颜色相同的概率是 ．

解：有两类情况：同为白球的概率是＝，同为红球的概率是＝，所求的概率是．

5．在平面直角坐标系xOy中，设焦距为2c的椭圆＋＝1(a＞b＞0)与椭圆＋＝1有相同的离心率e，则e的值是 ．

解：若c＞b，则＝，得a＝b，矛盾，因此c＜b，且有＝，解得e＝．

6．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，对角线B1D与平面A1BC1交于E点．记四棱锥E－ABCD的体积为V1，长方体ABCD－A1B1C1D1的体积为V2，则的值是 ．

解：记四棱锥B1－ABCD的体积为V．

如图，DE＝DB1，

从而V1＝V．又V＝V2，所以＝．

7．若实数集合A＝{31x，65y}与B＝{5xy，403}仅有一个公共元素，则集合A∪B中所有元素之积的值是 ．

解：因为31x×65y＝5xy×403＝2015xy．若xy≠0，则集合A和集合B中有一组相等，则另一组也必然相等，这不合题意．所以xy＝0，从而A∪B中所有元素之积的值为0．

8．设向量a＝(cosα，sinα)，b＝(－sinα，cosα)．向量x1，x2，…，x7中有3个为a，其余为b；向量y1，y2，…，y7中有2个为a，其余为b．则xiyi的可能取值中最小的为 ．

解：因为a·a＝b·b＝1，a·b＝0，所以xiyi的最小值为2．

9．在3×3的幻方中填数，使每行、每列及两条对角线上的三个数之和都相等．如图，三个方格中的数分别为1，2，2015，则幻方中其余6个数之和为 ．

解：如图，设幻方正中间的数为x，则由题意知

a＝－2012，从而对角线上三个数的和为x－2011．

因此b＝x－2014，c＝－4026，d＝－2013，e＝x＋2014．

由b＋e＋x＝x－2011，解得x＝－．

这9个数的和为3×(－－2011)＝－，

所以幻方中其余6个数之和为－－2018＝－．

10．在平面直角坐标系xOy中，设D是满足x≥0，y≥0，x＋y＋＋≤19的点(x，y)形成的区域（其中是不超过x的最大整数）．则区域D中整点的个数为 ．

解：区域D中整点的个数为1＋2＋3＋…＋10＝55．

二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）

11．在等比数列{an}中，a2＝2，q是公比．记Sn为{an}的前n项和，Tn为数列{a}的前n项和．若S2n＝2Tn，求q的值．

解：若q＝1，则an＝a2＝2，a＝4，则S2n＝4n，Tn＝4n，S2n≠2Tn．

若q＝－1，则an＝2×(－1)n，a＝4，则S2n＝0，Tn＝4n，S2n≠2Tn．

……………………………… 5分

若q≠±1，则an＝2qn－2，a＝4q2n－4，从而S2n＝，Tn＝．

……………………………… 15分

由S2n＝2Tn，则＝1，q2＋q－4＝0，解得q＝．

综上，q的值为和． ……………………………… 20分

12．如图，△ABC中，AB＞AC，点D、E分别在边AB、AC上，且BD＝CE．∠BAC的外角平分线与△ADE的外接圆交于A、P两点．

求证：A、P、B、C四点共圆．

证明：如图，连结PD，PE，PC．

因为四边形APDE是圆内接四边形,

所以∠PAD＝∠PED，∠PAF＝∠PDE．

又因为AP是∠BAC的外角平分线，

所以∠PAD＝∠PAF，

从而∠PED＝∠PDE，

故PD＝PE． ……………………………… 10分

又∠ADP＝∠AEP，

所以∠BDP＝∠CEP．

又因为BD＝CE，所以△BDP≌△CEP，从而∠PBD＝∠PCE，即∠PBA＝∠PCA，

所以A、P、B、C四点共圆． ……………………………… 10分

13．如图，在平面直角坐标系xOy中，圆O1、圆O2都与直线l：y＝kx及x轴正半轴相切．若两圆的半径之积为2，两圆的一个交点为P(2，2)，求直线l的方程．

解：由题意，圆心O1，O2都在x轴与直线l的角平分线上．

若直线l的斜率k＝tanα，

设t＝tan，则k＝．

圆心O1，O2在直线y＝tx上，

可设O1(m，mt)，O2(n，nt)．

交点P(2，2)在第一象限，m，n，t＞0． ……………………………… 4分

所以⊙O1：(x－m)2+(y－mt)2=(mt)2，

⊙O1：(x－n)2+(y－nt)2=(nt)2，

所以即……………… 8分

所以 m，n是方程X2－(4+4t)X＋8=0的两根，mn＝8．

由半径的积(mt)(nt)＝2，得t2＝，故t＝．……………………………… 16分

所以 k＝＝＝，直线l：y＝x． ……………………………… 20分

14．将正十一边形的k个顶点染红色，其余顶点染蓝色．

（1）当k＝2时，求顶点均为蓝色的等腰三角形的个数；

（2）k取何值时，三个顶点同色(同红色或同蓝色)的等腰三角形个数最少？并说明理由．

解：（1）设正十一边形的顶点A1，A2，A3，…，A11，则易知其中任意三点为顶点的三角形都不是正三角形．

以这些点为顶点的等腰三角形个数可以如此计算：以Ai(i＝1，2，3，…，11)为顶角顶点的等腰三角形有＝5个，这些三角形均不是等边三角形，即当j≠i时，以Aj为顶角顶点的等腰三角形都不是上述等腰三角形．

故所有的等腰三角形共有5×11＝55个． …………………… 5分

当k＝2时，设其中Am，An染成红色，其余染成蓝色．

以Am为顶角顶点的等腰三角形有5个，以Am为底角顶点的等腰三角形有10个；同时以Am，An为顶点的等腰三角形有3个，这些等腰三角形的顶点不同色，且共有(5＋10)×2－3＝27个．

注意到仅有这些等腰三角形的三个顶点不同蓝色，故所求三个顶点同为蓝色的等腰三角形有55－27＝28个． ………………………… 10分

（2）若11个顶点中k个染红色，其余11－k个染蓝色．则这些顶点间连线段(边或对角线)中，两端点染红色的有条，两端点染蓝色的有条，两端点染一红一蓝的有k(11－k)条．并且每条连线段必属于且仅属于3个等腰三角形．

把等腰三角形分4类：设其中三个顶点均为红色的等腰三角形有x1个，三个顶点均为蓝色的等腰三角形有x2个，两个顶点为红色一个顶点为蓝色的等腰三角形有x3个，两个顶点为蓝色一个顶点为红色的等腰三角形有x4个，则按顶点颜色计算连线段，

3x1＋x3＝3×， ①

3x2＋x4＝3×， ②

2x3＋2x4＝3×k(11－k)， ③

由①＋②得 3(x1＋x2)＋x3＋x4＝，

用③代入得 x1＋x2＝＝(3k2－33k＋110)．

当k＝5或6时，(x1＋x2)min＝(5×4＋6×5－5×6)＝10．

即顶点同色的等腰三角形最少有10个，此时k＝5或6．………… 20分

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