高中数学难点解析

难点10 函数图象与图象变换

函数的图象与性质是高考考查的重点内容之一，它是研究和记忆函数性质的直观工具，利用它的直观性解题，可以起到化繁为简、化难为易的作用.因此，考生要掌握绘制函数图象的一般方法，掌握函数图象变化的一般规律，能利用函数的图象研究函数的性质.

●难点磁场

(★★★★★)已知函数f(x)=ax3+bx2+cx+d的图象如图，求b的范围.

●案例探究

［例1］对函数y=f(x)定义域中任一个x的值均有f(x+a)=f(a－x),(1)求证y=f(x)的图象关于直线x=a对称；(2)若函数f(x)对一切实数x都有f(x+2)=f(2－x),且方程f(x)=0恰好有四个不同实根，求这些实根之和.

命题意图：本题考查函数概念、图象对称问题以及求根问题.属★★★★★级题目.

知识依托：把证明图象对称问题转化到点的对称问题.

错解分析：找不到问题的突破口，对条件不能进行等价转化.

技巧与方法：数形结合、等价转化.

(1)证明：设(x0,y0)是函数y=f(x)图象上任一点，则y0=f(x0),又f(a+x)=f(a－x),∴f(2a－x0)=

f［a+(a－x0)］=f［a－(a－x0)］=f(x0)=y0,∴(2a－x0,y0)也在函数的图象上，而
=a,∴点(x0,y0)与(2a－x0,y0)关于直线x=a对称，故y=f(x)的图象关于直线x=a对称.

(2)解：由f(2+x)=f(2－x)得y=f(x)的图象关于直线x=2对称，若x0是f(x)=0的根，则4－x0也是f(x)=0的根，由对称性，f(x)=0的四根之和为8.

［例2］如图，点A、B、C都在函数y=
的图象上，它们的横坐标分别是a、a+1、a+2.又A、B、C在x轴上的射影分别是A′、B′、C′,记△AB′C的面积为f(a),△A′BC′的面积为g(a).

(1)求函数f(a)和g(a)的表达式；

(2)比较f(a)与g(a)的大小，并证明你的结论.

命题意图：本题考查函数的解析式、函数图象、识图能力、图形的组合等.属★★★★★级题目.

知识依托：充分借助图象信息，利用面积问题的拆拼以及等价变形找到问题的突破口.

错解分析：图形面积不会拆拼.

技巧与方法：数形结合、等价转化.

解：(1)连结AA′、BB′、CC′,则f(a)=S△AB′C=S梯形AA′C′C－S△A