高中数学难点解析

难点24 直线与圆锥曲线

直线与圆锥曲线联系在一起的综合题在高考中多以高档题、压轴题出现，主要涉及位置关系的判定，弦长问题、最值问题、对称问题、轨迹问题等.突出考查了数形结合、分类讨论、函数与方程、等价转化等数学思想方法，要求考生分析问题和解决问题的能力、计算能力较高，起到了拉开考生“档次”，有利于选拔的功能.

●难点磁场

(★★★★★)已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在坐标轴上，直线y=x+1与椭圆交于P和Q，且OP⊥OQ，|PQ|=
，求椭圆方程.

●案例探究

［例1］如图所示，抛物线y2=4x的顶点为O，点A的坐标为(5，0)，倾斜角为
的直线l与线段OA相交(不经过点O或点A)且交抛物线于M、N两点，求△AMN面积最大时直线l的方程，并求△AMN的最大面积.

命题意图：直线与圆锥曲线相交，一个重要的问题就是有关弦长的问题.本题考查处理直线与圆锥曲线相交问题的第一种方法——“韦达定理法”.属★★★★★级题目.

知识依托：弦长公式、三角形的面积公式、不等式法求最值、函数与方程的思想.

错解分析：将直线方程代入抛物线方程后，没有确定m的取值范围.不等式法求最值忽略了适用的条件.

技巧与方法：涉及弦长问题，应熟练地利用韦达定理设而不求计算弦长，涉及垂直关系往往也是利用韦达定理，设而不求简化运算.

解：由题意，可设l的方程为y=x+m,－5＜m＜0.

由方程组
,消去y,得x2+(2m－4)x+m2=0 ①

∵直线l与抛物线有两个不同交点M、N，

∴方程①的判别式Δ=(2m－4)2－4m2=16(1－m)＞0,

解得m＜1,又－5＜m＜0,∴m的范围为(－5，0)

设M(x1,y1),N(x2,y2)则x1+x2=4－2m，x1·x2=m2,

∴|MN|=4
.

点A到直线l的距离为d=
.

∴S△=2(5+m)
,从而S△2=4(1－m)(5+m)2

=2(2－2m)·(5+m)(5+m)≤2(
)3=128.

∴S△≤8
,当且仅当2－2m=5+m,即m=－1时取等号.

故直线l的方程为y=x－1，△AMN的最大面积为8
.

［例2］已知双曲线C：2x2－y2=2与点P(1，2)

(1)求过P(1，2)点的直线l的斜率取值范围，使l与C分别有一个交点，两个交点，没有交点.

(2)若Q(1，1)