高中数学难点解析

难点27 求空间的角

空间的角是空间图形的一个要素，在异面直线所成的角、线面角、二面角等知识点上，较好地考查了学生的逻辑推理能力以及化归的数学思想.

●难点磁场

(★★★★★)如图，α—l—β为60°的二面角，等腰直角三角形MPN的直角顶点P在l上，M∈α,N∈β,且MP与β所成的角等于NP与α所成的角.

(1)求证：MN分别与α、β所成角相等；

(2)求MN与β所成角.

●案例探究

［例1］在棱长为a的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、F分别是BC、A′D′的中点.

(1)求证：四边形B′EDF是菱形；

(2)求直线A′C与DE所成的角；

(3)求直线AD与平面B′EDF所成的角；

(4)求面B′EDF与面ABCD所成的角.

命题意图：本题主要考查异面直线所成的角、线面角及二面角的一般求法，综合性较强，属★★★★★级题目.

知识依托：平移法求异面直线所成的角，利用三垂线定理求作二面角的平面角.

错解分析：对于第(1)问，若仅由B′E=ED=DF=FB′就断定B′EDF是菱形是错误的，因为存在着四边相等的空间四边形，必须证明B′、E、D、F四点共面.

技巧与方法：求线面角关键是作垂线，找射影，求异面直线所成的角采用平移法.求二面角的大小也可应用面积射影法.

(1)证明：如上图所示，由勾股定理，得B′E=ED=DF=FB′=
a,下证B′、E、D、F四点共面，取AD中点G，连结A′G、EG，由EG
AB
A′B′知，B′EGA′是平行四边形.

∴B′E∥A′G,又A′F
DG,∴A′GDF为平行四边形.

∴A′G∥FD，∴B′、E、D、F四点共面

故四边形B′EDF是菱形.

(2)解：如图所示，在平面ABCD内，过C作CP∥DE，交直线AD于P，

则∠A′CP(或补角)为异面直线A′C与DE所成的角.

在△A′CP中，易得A′C=
a，CP=DE=
a,A′P=
a

由余弦定理得cosA′CP=

故A′C与DE所成角为arccos
.

(3)解：∵∠ADE=∠ADF,∴AD在平面B′EDF内的射影在∠EDF的平分线上.如下图所示.

又∵B′EDF为菱形，∴DB′为∠EDF的平分线，

故直线AD与平面B′EDF所成的角为∠ADB′

在Rt△B′AD中，AD=
a，AB′=
a,B′D=
a

则cosADB′=

故AD