高中数学难点解析

难点28 求空间距离

空间中距离的求法是历年高考考查的重点，其中以点与点、点到线、点到面的距离为基础，求其他几种距离一般化归为这三种距离.

●难点磁场

(★★★★)如图，已知ABCD是矩形，AB=a,AD=b,PA⊥平面ABCD，PA=2c,Q是PA的中点.

求：(1)Q到BD的距离；

(2)P到平面BQD的距离.

●案例探究

［例1］把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，点O是原正方形的中心，求：

(1)EF的长；

(2)折起后∠EOF的大小.

命题意图：考查利用空间向量的坐标运算来解决立体几何问题，属★★★★级题目.

知识依托：空间向量的坐标运算及数量积公式.

错解分析：建立正确的空间直角坐标系.其中必须保证x轴、y轴、z轴两两互相垂直.

技巧与方法：建系方式有多种，其中以O点为原点，以
、
、
的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向最为简单.

解：如图，以O点为原点建立空间直角坐标系O—xyz,设正方形ABCD边长为a,则A(0，－
a,0),B(
a,0,0),C(0,
a,0),D(0,0,
a),E(0,－
a, a),F(
a,
a,0)

∴∠EOF=120°

［例2］正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，求异面直线A1C1与AB1间的距离.

命题意图：本题主要考查异面直线间距离的求法，属★★★★级题目.

知识依托：求异面直线的距离，可求两异面直线的公垂线，或转化为求线面距离，或面面距离，亦可由最值法求得.

错解分析：本题容易错误认为O1B是A1C与AB1的距离，这主要是对异面直线定义不熟悉，异面直线的距离是与两条异面直线垂直相交的直线上垂足间的距离.

技巧与方法：求异面直线的距离，有时较难作出它们的公垂线，故通常采用化归思想，转化为求线面距、面面距、或由最值法求得.

解法一：如图，连结AC1，在正方体AC1中，∵A1C1∥AC,∴A1C1∥平面AB1C，∴A1C1与平面AB1C间的距离等于异面直线A1C1与AB1间的距离.

连结B1D1、BD，设B1D1∩A1C1=O1,BD∩AC=O

∵AC⊥BD，AC⊥DD1，∴AC⊥平面BB1D1D

∴平面AB1C⊥平面BB1D1D，连结B1O，则平面AB1C∩平面BB1D1D=B1O

作O1G⊥B1O于G，则O1G⊥平面AB