高中数学难点解析

难点29 排列、组合的应用问题

排列、组合是每年高考必定考查的内容之一，纵观全国高考数学题，每年都有1～2道排列组合题，考查排列组合的基础知识、思维能力.

●难点磁场

(★★★★★)有五张卡片，它们的正、反面分别写0与1，2与3，4与5，6与7，8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？

●案例探究

［例1］在∠AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共m+n+1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )

命题意图：考查组合的概念及加法原理，属★★★★★级题目.

知识依托：法一分成三类方法；法二，间接法，去掉三点共线的组合.

错解分析：A中含有构不成三角形的组合，如：C
C
中，包括O、Bi、Bj;C
C
中，包含O、Ap、Aq，其中Ap、Aq,Bi、Bj分别表示OA、OB边上不同于O的点；B漏掉△AiOBj；D有重复的三角形.如C
C
中有△AiOBj,C
C
中也有△AiOBj.

技巧与方法：分类讨论思想及间接法.

解法一：第一类办法：从OA边上(不包括O)中任取一点与从OB边上(不包括O)中任取两点，可构造一个三角形，有C
C
个；第二类办法：从OA边上(不包括O)中任取两点与OB边上(不包括O)中任取一点，与O点可构造一个三角形，有C
C
个；第三类办法：从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)中任取一点，与O点可构造一个三角形，有C
C
个.由加法原理共有N=C
C
+C
C
+C
C
个三角形.

解法二：从m+n+1中任取三点共有C
个，其中三点均在射线OA(包括O点)，有C
个，三点均在射线OB(包括O点)，有C
个.所以，个数为N=C
－C
－C
个.

答案：C

［例2］四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总数是_________.

命题意图：本题主要考查排列、组合、乘法原理概念，以及灵活应用上述概念处理数学问题的能力，属★★★★级题目.

知识依托：排列、组合、乘法原理的概念.

错解分析：根据题目要求每所学校至少接纳一位优等生，常采用先安排每学校一人，而后将剩的一人送到一所学校，故有3A
种.忽略此种办法是：将同在一所学校的两名学生按进入学校的前后顺序，分为两种方案，而实际题目中对进入同一所学校的两名学生