高中数学难点解析

难点31 数学归纳法解题

数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用的一种主要思想方法.

●难点磁场

(★★★★)是否存在a、b、c使得等式1·22+2·32+…+n(n+1)2=
(an2+bn+c).

●案例探究

［例1］试证明：不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n＞1,n∈N*且a、b、c互不相等时，均有：an+cn＞2bn.

命题意图：本题主要考查数学归纳法证明不等式，属★★★★级题目.

知识依托：等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤.

错解分析：应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况.

技巧与方法：本题中使用到结论：(ak－ck)(a－c)＞0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1＞ak·c+ck·a.

证明：(1)设a、b、c为等比数列，a=
,c=bq(q＞0且q≠1)

∴an+cn=
+bnqn=bn(
+qn)＞2bn

(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想
＞(
)n(n≥2且n∈N*)

下面用数学归纳法证明：

①当n=2时，由2(a2+c2)＞(a+c)2，∴

②设n=k时成立，即

则当n=k+1时，
(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)

＞
(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=
(ak+ck)(a+c)

＞(
)k·(
)=(
)k+1

［例2］在数列{an}中，a1=1，当n≥2时，an,Sn,Sn－
成等比数列.

(1)求a2,a3,a4，并推出an的表达式；

(2)用数学归纳法证明所得的结论；

(3)求数列{an}所有项的和.

命题意图：本题考查了数列、数学归纳法、数列极限等基础知识.

知识依托：等比数列的性质及数学归纳法的一般步骤.采用的方法是归纳、猜想、证明.

错解分析：(2)中，Sk=－
应舍去，这一点往往容易被忽视.

技巧与方法：求通项可证明{
}是以{
}为首项，
为公差的等差数列，进而求得通项公式.

解：∵an,Sn,Sn－
成等比数列，∴Sn2=an·(Sn－
)(n≥2) (*)

(1)由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入(*)式得:a2=－

由a1=1，a2=－
,S3=
+a3