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简介:
专题一 集合、常用逻辑用语与定积分 类型一 集合的概念与运算 1.集合中元素的三种性质中互异性对解题的影响最大,特别是含字母参数的集合. 2.集合之间的关系与运算技巧 A∪B=A?B?A;A∩B=A?A?B; A∩?U(B)=??A?B. 3.含有n个元素的集合A的子集的个数为2n个,真子集的个数为2n-1个. [例1] (1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0 (2)设集合A={x|1 A.(1,4) B.(3,4) C.(1,3) D.(1,2)∪(3,4) 训练 1.设全集U={x∈Z|≥1},M∩N={1,2},?U(M∪N)={0},(?UM)∩N={4,5},则M=( ) A.{1,2,3} B.{-1,1,2,3} C.{1,2} D.{-1,1,2} 2.已知集合A={x||x-1|<2},B={x| },若A∩B≠?,则实数b的取值范围是________. 类型二 命题与命题的真假判断 1.四种命题有两组等价关系,即原命题与其逆否命题等价,否命题与逆命题等价. 2.含有逻辑联结词的命题的真假判断:命题p∨q,只要p,q至少有一为真,即为真命题,换言之,见真则真;命题p∧q,只要p,q至少有一为假,即为假命题,换言之,见假则假;綈p和p为一真一假两个互为对立的命题. 3.“或”命题和“且”命题的否定: 命题p∨q的否定是p∧q; 命题p∧q的否定是p∨q. 4.含有量词的命题的否定 ?x∈M,p(x)的否定是?x∈M,p(x);?x∈M,p(x)的否定是?x∈M,p(x). [例2] (1)命题“若α=,则tan α=1”的逆否命题是( ) A.若α≠,则tan α≠1 B.若α=,则tan α≠1 C.若tan α≠1,则α≠ D.若tan α≠1,则α= (2)列命题中,真命题是( ) A.?x0∈R,ex0≤0 B.?x∈R,2x>x2 C.a+b=0的充要条件是 =-1 D.a>1,b>1是ab>1的充分条件 训练 已知命题p:?x∈R,mx2+1≤0,命题q:?x∈R,(m+2)x2+1>0,若p∧q为真命题,则实数m的取值范围是( ) A.(-∞,-2) B.[-2,0) C.(-2,0) D.(0,2) 类型三 充要条件的判断 1.若p?q且qp,则称p是q的充分不必要条件. 2.若pq且q?p,则称p是q的必要不充分条件. 3.若p?q,则称p是q的充要条件. 4.若pq且qp,则称p是q的既不充分也不必要条件. [例3] 设φ∈R,则“φ=0”是“f(x)=cos (x+φ)(x∈R)为偶函数”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 训练 1. “a<-2”是“函数f(x)=ax+3在区间[-1,2]上存在零点”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知p:|1-|≤2,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若p是q的必要而不充分条件,则实数m的取值范围是________. 类型四 定积分 1.定积分的性质 (1) =k; (2) =; (3) =(其中a 2.定积分的求法 (1)利用几何意义; (2)利用微积分基本定理. 一般地,如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数,并且F′(x)=f(x),那么 =F(b)-F(a). [例4] 已知二次函数y=f (x)的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为( ) A. B. C. D. 训练 1. _________ 2.由曲线y=x2+2x与直线y=x所围成的封闭图形的面积为( ) A. B. C. D. 高考题 1.设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内,直线b在平面β内,且b⊥m,则“α⊥β ”是“a⊥b”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 高考对充要条件的考查多以选择题形式出现.主要涉及函数性质、三角、平面向量、直线与圆、空间位置关系、不等式性质等相关知识,综合性较强,解法具有一定的灵活性. 2. “cos α=”是“cos 2α=-”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 专题二复数、平面向量、程序框图与推理 类型一 复数 (1)共轭复数 复数z=a+bi的共轭复数为z=a-bi. (2)复数的模 复数z=a+bi的模|z|=. (3)复数相等的充要条件 a+bi=c+di?a=c且b=d(a,b,c,d∈ R). 特别地,a+bi=0?a=0且b=0(a,b∈R). [例1] (1) i是虚数单位,复数 =( ) A.1-i B.-1+I C.1+i D.-1-i (2)若复数z=1+i(i为虚数单位), 是z的共轭复数,则2+z2的虚部为( ) A.0 B.-1 C.1 D.-2 训练 1.设复数z1=1-3i,z2=3-2i,则 在复平面内对应的点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+为纯虚数”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 类型二 平面向量 1.平面向量的线性运算法则 (1)三角形法则; (2)平行四边形法则. 2.向量共线的条件 存在两非零向量a,b,则 (1)若a,b共线,则存在λ∈R,b=λa. (2)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则x1y2-x2y1=0. 3.向量垂直的条件 (1)已知非零向量a,b,且a与b垂直,则a·b=0. (2)已知a=(x1,y1),b=(x2,y2),则x1x2+y1y2=0. 4.夹角与模 (1)设θ为a与b(a≠0,b≠0)的夹角,则 ①cos θ=; ②若a=(x1,y1),b=(x2,y2), 则cos θ=. (2)若a=(x,y),则|a|= . [例2] (1)已知向量a,b夹角为45°,且|a|=1,|2a-b|=,则|b|=________. (2)如图,在矩形ABCD中,AB=,BC=2,点E为BC的中点,点F在边CD上,若·=,则·的值是________. 训练 已知A(-3,0)、B(0,2),O为坐标原点,点C在∠AOB内,|OC|=,且∠AOC=,设= (∈R),则的值为( ) A.1 B. C. D. 类型三 算法与程序框图 1.算法的三种基本逻辑结构:顺序结构,条件结构,循环结构. 2.循环结构一定包含条件结构. [例3] (1)阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,则输出S的值为( ) A.8 B.18 C.26 D.80 (2)如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图,P表示估计结果,则图中空白框内应填入( ) A.P= B.P= C.P= D.P= 3.如果执行如图所示的程序框图,则运行结果为( ) A. B.-1 C. D.2 类型四 合情推理 1.类比推理的一般步骤 (1)找出两类事物之间的相似性或一致性; (2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质,得出一个明确的结论. 2.归纳推理的一般步骤 (1)通过观察个别事物发现某些相同的性质; (2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题.一般情况下,归纳的个别事物越多,越具有代表性,推广的一般性结论也就越可靠. [例4] 观察下列不等式 1+<, 1++<, 1+++<, …… 照此规律,第五个不等式为________________. 训练 1.在平面上,我们如果用一条直线去截正方形的一个角,那么截下的是一个直角三角形,若将该直角三角形按图标出边长a,b,c,则由勾股定理有:a2+b2=c2.设想把正方形换成正方体,把截线换成如图的截面,这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN,如果用S1,S2,S3表示三个侧面面积,S4表示截面面积,那么你类比得到的结论是________. 2.若平面向量a,b满足|2a-b|≤3,则a· b的最小值是________. 本题考查了向量减法的三角形法则、数量积的运算公式及利用均值不等式求最值.其解题的关键是将a·b表示为λ的函数,再根据函数结构变形求最值. 高考对平面向量的考查灵活多变,多以选择题、填空题形式出现,主要涉及平面向量的线性运算与数量积的运算,有时综合三角不等式、最值等问题 3.在边长为1的正三角形ABC中,=x,=y,x>0,y>0, 且x+y=1,则 · 的最大值为( ) 专题三不等式、线性规划、计数原理与二项式定理 类型一 不等式的性质与解法 1.不等式的同向可加性 2.不等式的同向可乘性 3.不等式的解法 一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0).若Δ>0,其解集可简记为:同号两根之外,异号两根之间. [例1] (1)设a>b>1,c<0,给出下列三个结论: ① >;②ac (2)已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)的值域为[0,+∞),若关于x的不等式f(x) 3.已知关于x的不等式x2-ax+2a>0在R上恒成立,则实数a的取值范围是________. 类型二 线性规划 求目标函数最值的一般步骤 (1)作出可行域;(2)借助图形确定函数最值的取值位置,并求最值. [例2] 1.已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限,若点(x,y)在△ABC内部,则z=-x+y的取值范围是( ) A.(1-,2) B.(0,2) C.(-1,2) D.(0,1+) 2.设变量x,y满足约束条件,则z=的取值范围是( ) A.[0,4] B.[,5] C.[,6] D.[2,10] 类型三 均值不等式的应用 1. (R)2. (R) 3. (R)4. (R) [例3] 若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值是( ) A. B. C.5 D.6 3.已知x>0,y>0,若>m2+2m恒成立,则实数m的取值范围是( ) A.m≥4或m≤-2 B.m≥2或m≤-4 C.-2 类型四 排列与组合 1.加法计数原理与乘法计数原理针对的分别是“分类”与“分步”问题. 2.排列数A=. 组合数C=. 3.组合数性质 (1)C=C;(2)C+C=C. [例4]1.从0,2中选一个数字,从1,3,5中选两个数字,组成无重复数字的三位数,其中奇数的个数为( ) A.24 B.18 C.12 D.6 2.现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张,从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为 A.232 B.252 C.472 D.484 类型五 二项式定理 1.二项展开式的通项:Tk+1=Can-kbk(k=0,1,…,n). 2.二项式系数为C,C,…,C,…,C(r=0,1,…n). 3.用赋值法研究展开式中各项系数之和. [例5] (x2+2)( -1)5的展开式的常数项是( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 3.在二项式(x2-)n的展开式中,所有二项式系数的和是32,则展开式中各项系数的和为( ) A.32 B.-32 C.0 D.1 4.已知正数a,b,c满足:5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+cln c,则的取值范围是________. 4 (5) 本题主要考查了不等式的性质、线性规划的应用等知识,命题角度创新,难度较大,解决此题的关键是将问题转化为线性规划问题,通过数形结合思想来解决. 高考对线性规划的考查比较灵活,多以选择、填空形式出现,主要考查利用线性规划求目标函数最值及应用.常涉及距离型、斜率型、截距型.有时与函数、圆、平面向量等知识相综合. 5.如果点P在不等式组所确定的平面区域内,点Q在曲线(x+2)2+(y+2)2=1上,那么|PQ|的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.6 专题四 函数的图象与性质 类型一 函数及其表示 1.函数的三要素:定义域、值域、对应法则. 2.同一函数:函数的三要素完全相同时,才表示同一函数. 例1.下列函数中,与函数y=定义域相同的函数为( ) A.y= B.y=C.y=xex D.y= 2.设f(x)= , g(x)= 则f(g())的值为( ) A.1 B.0 C.-1 D. 3.设函数g(x)=x2-2(x∈R),f(x)= | ||||||||||||||||||||||||||||||
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