专题一　集合、常用逻辑用语与定积分

类型一 集合的概念与运算

1．集合中元素的三种性质中互异性对解题的影响最大，特别是含字母参数的集合．

2．集合之间的关系与运算技巧

A∪B＝A?B?A；A∩B＝A?A?B； A∩?U(B)＝??A?B.

3．含有n个元素的集合A的子集的个数为2n个，真子集的个数为2n－1个．

[例1]　(1)已知集合A＝{x|x2－3x＋2＝0，x∈R}，B＝{x|0

(2)设集合A＝{x|1

A．(1，4) B．(3，4) C．(1，3) D．(1，2)∪(3，4)



训练

1．设全集U＝{x∈Z|
≥1}，M∩N＝{1，2}，?U(M∪N)＝{0}，(?UM)∩N＝{4，5}，则M＝(　　)

A．{1，2，3} B．{－1，1，2，3}

C．{1，2} D．{－1，1，2}

2．已知集合A＝{x||x－1|<2}，B＝{x|
}，若A∩B≠?，则实数b的取值范围是________．

类型二 命题与命题的真假判断

1．四种命题有两组等价关系，即原命题与其逆否命题等价，否命题与逆命题等价．

2．含有逻辑联结词的命题的真假判断：命题p∨q，只要p，q至少有一为真，即为真命题，换言之，见真则真；命题p∧q，只要p，q至少有一为假，即为假命题，换言之，见假则假；綈p和p为一真一假两个互为对立的命题．

3．“或”命题和“且”命题的否定：

命题p∨q的否定是
p∧
q； 命题p∧q的否定是
p∨
q.

4．含有量词的命题的否定

?x∈M，p(x)的否定是?x∈M，
p(x)；?x∈M，p(x)的否定是?x∈M，
p(x)．

[例2]　(1)命题“若α＝
，则tan α＝1”的逆否命题是(　　)

A．若α≠
，则tan α≠1 B．若α＝
，则tan α≠1

C．若tan α≠1，则α≠
D．若tan α≠1，则α＝

(2)列命题中，真命题是(　　)

A．?x0∈R，ex0≤0 B．?x∈R，2x>x2

C．a＋b＝0的充要条件是
＝－1 D．a>1，b>1是ab>1的充分条件



训练

已知命题p：?x∈R，mx2＋1≤0，命题q：?x∈R，(m＋2)x2＋1>0，若p∧q为真命题，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，－2) B．[－2，0)

C．(－2，0) D．(0，2)

类型三 充要条件的判断

1．若p?q且q
p，则称p是q的充分不必要条件．

2．若p
q且q?p，则称p是q的必要不充分条件．

3．若p?q，则称p是q的充要条件．

4．若p
q且q
p，则称p是q的既不充分也不必要条件．

[例3]　设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos (x＋φ)(x∈R)为偶函数”的(　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件



训练

1． “a<－2”是“函数f(x)＝ax＋3在区间[－1，2]上存在零点”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2．已知p：|1－
|≤2，q：x2－2x＋1－m2≤0(m>0)，若
p是
q的必要而不充分条件，则实数m的取值范围是________．

类型四 定积分

1．定积分的性质

(1)
＝k
； (2)
＝
；

(3)
＝
(其中a

2．定积分的求法

(1)利用几何意义；

(2)利用微积分基本定理．

一般地，如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么
＝F(b)－F(a)．

[例4]　已知二次函数y＝f (x)的图象如图所示，则它与x轴所围图形的面积为(　　)

A.
B.
C.
D.





训练

1.
_________

2．由曲线y＝x2＋2x与直线y＝x所围成的封闭图形的面积为(　　)

A.
B.
C.
D.

高考题

1.设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β ”是“a⊥b”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

高考对充要条件的考查多以选择题形式出现．主要涉及函数性质、三角、平面向量、直线与圆、空间位置关系、不等式性质等相关知识，综合性较强，解法具有一定的灵活性．

2.　“cos α＝”是“cos 2α＝－”的(　　)

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充要条件 D．既不充分也不必要条件

专题二复数、平面向量、程序框图与推理

类型一 复数

(1)共轭复数 复数z＝a＋bi的共轭复数为z＝a－bi.

(2)复数的模 复数z＝a＋bi的模|z|＝
.

(3)复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈ R)．

特别地，a＋bi＝0?a＝0且b＝0(a，b∈R)．

[例1]　(1) i是虚数单位，复数  ＝(　　)

A．1－i　　　B．－1＋I C．1＋i D．－1－i

(2)若复数z＝1＋i(i为虚数单位)，
是z的共轭复数，则
2＋z2的虚部为(　　)

A．0 B．－1 C．1 D．－2



训练

1．设复数z1＝1－3i，z2＝3－2i，则  在复平面内对应的点在(　　)

A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限

2．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋
为纯虚数”的(　　)

A．充分不必要条件 B．必要不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

类型二 平面向量

1．平面向量的线性运算法则

(1)三角形法则； (2)平行四边形法则．

2．向量共线的条件

存在两非零向量a，b，则

(1)若a，b共线，则存在λ∈R，b＝λa.

(2)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1y2－x2y1＝0.

3．向量垂直的条件

(1)已知非零向量a，b，且a与b垂直，则a·b＝0.

(2)已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则x1x2＋y1y2＝0.

4．夹角与模

(1)设θ为a与b(a≠0，b≠0)的夹角，则

①cos θ＝； ②若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，

则cos θ＝. (2)若a＝(x，y)，则|a|＝ .

[例2]　(1)已知向量a，b夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则|b|＝________.

(2)如图，在矩形ABCD中，AB＝
，BC＝2，点E为BC的中点，点F在边CD上，若
·
＝
，则
·
的值是________．





训练

已知A(－3，0)、B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝
，且∠AOC＝
，设
＝
(
∈R)，则
的值为(　　)

A．1 B.
C.
D.

类型三 算法与程序框图

1．算法的三种基本逻辑结构：顺序结构，条件结构，循环结构．

2．循环结构一定包含条件结构．

[例3]　(1)阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S的值为(　　)

A．8 B．18 C．26 D．80



(2)如图所示是用模拟方法估计圆周率π值的程序框图，P表示估计结果，则图中空白框内应填入(　　)



A．P＝ B．P＝ C．P＝ D．P＝



3.如果执行如图所示的程序框图，则运行结果为(　　)



A．
B．－1 C.
D．2

类型四 合情推理

1．类比推理的一般步骤

(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；

(2)用一类事物的性质推测另一类事物的性质，得出一个明确的结论．

2．归纳推理的一般步骤

(1)通过观察个别事物发现某些相同的性质；

(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．一般情况下，归纳的个别事物越多，越具有代表性，推广的一般性结论也就越可靠．

[例4]　观察下列不等式

1＋<，

1＋＋<，

1＋＋＋<，

……

照此规律，第五个不等式为________________．



训练

1.在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的是一个直角三角形，若将该直角三角形按图标出边长a，b，c，则由勾股定理有：a2＋b2＝c2.设想把正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥OLMN，如果用S1，S2，S3表示三个侧面面积，S4表示截面面积，那么你类比得到的结论是________．



2.若平面向量a，b满足|2a－b|≤3，则a· b的最小值是________．

　本题考查了向量减法的三角形法则、数量积的运算公式及利用均值不等式求最值．其解题的关键是将a·b表示为λ的函数，再根据函数结构变形求最值．

高考对平面向量的考查灵活多变，多以选择题、填空题形式出现，主要涉及平面向量的线性运算与数量积的运算，有时综合三角不等式、最值等问题

3.在边长为1的正三角形ABC中，
＝x
，
＝y
，x>0，y>0，

且x＋y＝1，则
·
的最大值为(　　)


专题三不等式、线性规划、计数原理与二项式定理

类型一 不等式的性质与解法

1．不等式的同向可加性

2．不等式的同向可乘性

3．不等式的解法

一元二次不等式ax2＋bx＋c>0(或<0)．若Δ>0，其解集可简记为：同号两根之外，异号两根之间．

[例1]　(1)设a>b>1，c<0，给出下列三个结论：

①
>
；②acloga(b－c)． 其中所有的正确结论的序号是(　　) A．①　 B．①② C．②③ D．①②③

(2)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)



3.已知关于x的不等式x2－ax＋2a>0在R上恒成立，则实数a的取值范围是________．

类型二 线性规划

求目标函数最值的一般步骤

(1)作出可行域；(2)借助图形确定函数最值的取值位置，并求最值．

[例2]　1.已知正三角形ABC的顶点A(1，1)，B(1，3)，顶点C在第一象限，若点(x，y)在△ABC内部，则z＝－x＋y的取值范围是(　　)

A．(1－
，2) B．(0，2) C．(
－1，2) D．(0，1＋
)





2.设变量x，y满足约束条件
，则z＝
的取值范围是(　　)

A．[0，4] B．[
，5] C．[
，6] D．[2，10]



类型三 均值不等式的应用

1.
（
R）2.
（
R
）

3.
（
R）4.
（
R
）

[例3]　若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是(　　)

A.
B.
C．5 D．6



3.已知x>0，y>0，若
>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是(　　)

A．m≥4或m≤－2 B．m≥2或m≤－4 C．－2

类型四 排列与组合

1．加法计数原理与乘法计数原理针对的分别是“分类”与“分步”问题．

2．排列数A＝. 组合数C＝.

3．组合数性质 (1)C＝C；(2)C＋C＝C.

[例4]1.从0，2中选一个数字，从1，3，5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为(　　) A．24 B．18 C．12 D．6



2.现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求这3张卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张．不同取法的种数为

A．232 B．252 C．472 D．484

类型五 二项式定理

1．二项展开式的通项：Tk＋1＝Can－kbk(k＝0，1，…，n)．

2．二项式系数为C，C，…，C，…，C(r＝0，1，…n)．

3．用赋值法研究展开式中各项系数之和．

[例5]　 (x2＋2)(
－1)5的展开式的常数项是(　　)

A．－3 B．－2 C．2 D．3



3.在二项式(x2－
)n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为(　　) A．32 B．－32 C．0 D．1

4.已知正数a，b，c满足：5c－3a≤b≤4c－a，clnb≥a＋cln c，则
的取值范围是________．

4
 （5）


　本题主要考查了不等式的性质、线性规划的应用等知识，命题角度创新，难度较大，解决此题的关键是将问题转化为线性规划问题，通过数形结合思想来解决．

高考对线性规划的考查比较灵活，多以选择、填空形式出现，主要考查利用线性规划求目标函数最值及应用．常涉及距离型、斜率型、截距型．有时与函数、圆、平面向量等知识相综合．

　5.如果点P在不等式组
所确定的平面区域内，点Q在曲线(x＋2)2＋(y＋2)2＝1上，那么|PQ|的最小值为(　　) A．1　 B．2 C．3 D．6

专题四　函数的图象与性质

类型一 函数及其表示

1．函数的三要素：定义域、值域、对应法则．

2．同一函数：函数的三要素完全相同时，才表示同一函数．

例1.下列函数中，与函数y＝
定义域相同的函数为(　　)

A．y＝
　 B．y＝
C．y＝xex D．y＝



2．设f(x)＝
， g(x)＝
则f(g(
))的值为(　　)

A．1 B．0 C．－1 D．

3．设函数g(x)＝x2－2(x∈R)，f(x)＝