广州六中2012年高一数学期末考试题

考试时间：90分钟 满分150分

出题：赵霞 审题：刘旭升 预测均分：100~100

参考公式：锥体体积公式：
，S为底面积，h为高

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1、直线
的倾斜角的正切值为－
，直线
与
垂直，则
的斜率是( )

A.
B.
C.
D.

2.函数
在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

3、已知平面
，直线
，直线
，有下面四个命题： (1)
∥


(2)




∥

(3)
∥




(4)


∥
　其中正确的是（ 　 ） A. (1)与(2)　　 B. (3)与(4)　　 C. (1)与(3)　　 D. (2)与(4)

4.已知集合
集合
且
则
的值为（ ）

A. -1,1 B. 1，-1 C. -1,2 D. 1,2

5. 圆(x－3)2＋(y＋4)2＝1关于直线y＝—x+6对称的圆的方程是 (　　)

A．(x＋10)2＋(y＋3)2＝1 B．(x－10)2＋(y－3)2＝1

C．(x－3)2＋(y＋10)2＝1 D．(x－3)2＋(y－10)2＝1

6．已知函数
，给定区间E，对任意
，当
时，总有
则下列区间可作为E的是（ ）

A.（－3，－1） B.（－1，0） C.（1，2） D.（3，6）

7.某三棱锥的三视图如图所示，该三梭锥的表面积是（ ）

A. 60+12
B. 56+ 12

C. 30+6
D. 28+6

8.设函数
，若
的图象与
图象有且仅有两个不同的公共点
,则下列判断正确的是( )

A. 当
时，

B. 当
时，

C. 当
时，

D. 当
时，

二．填空题（每小题5分，共30分）

9.设点B是A(2，－3, 5)关于平面xoy对称的点，则线段AB的长为

10.如图所示,空间四边形ABCD中,AB＝CD,AB⊥CD,E、F分别为BC、AD的中点，则EF和AB所成的角为

11.已知直线l经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程

12．如图，正方体
的棱长为1，
分别为线段
上的点，则三棱锥
的体积为____________.

13．从直线x－y＋3＝0上的点向圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切线，则切线长的最小值为

14.已知函数
的图象与函数
的图象恰有两个交点，则实数k的取值范围是_________.

三、解答题(共6题,共80分，解答写出必要的证明过程、文字说明)

15. （本题满分12分）

平行四边形的两邻边所在直线的方程为x＋y＋1＝0及3x－4＝0，其对角线的交点是D(3,3)，求另两边所在的直线的方程．

16.（本题满分12分）

如图，在四棱锥
中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点.求证：（1）直线EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

17. （本题满分14分）

广州大学城风景区有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超出6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆.为了便于结算,每辆自行车的日租金x(元)只取整数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用,用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得).

(1)求函数
的解析式及其定义域；

(2)试问当每辆自行车的日租金定为多少元时,才能使一日的净收入最多？

18、（本题满分14分）

如图，在四棱锥
中，
底面
，

，
，
是
的中点．

（Ⅰ）求
和平面
所成的角的大小；

（Ⅱ）证明
平面
；

（Ⅲ）求二面角
的正弦值．

19．（本题满分14分）

已知坐标平面上点
与两个定点
的距离之比等于5.

(1)求点
的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

(2)记(1)中的轨迹为
，过点
的直线
被
所截得的线段的长为8，求直线
的方程．

20. （本题满分14分）

已知
是定义在R上的奇函数，当
时，
.

(1)求
的值；

(2)求
的解析式；

(3)解关于
的不等式
，结果用集合或区间表示．

广州六中2012年高一数学期末考试题答案

一、选择题：（
）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

D

B

C

A

B

A

C

D



二、填空题（
）

9、10； 10、
； 11、x－7y＝0或x－y－6＝0．

12、
； 13、； 14、
或

部分解析

2.【解析】函数
单调递增，又
，
，所以根据根的存在定理可知在区间
内函数的零点个数为1个，选B.

4.【解析】由
，得
，即
，所以集合
，因为
，所以
是方程
的根，所以代入得
，所以
，此时不等式
的解为
，所以
，即
。

5. 【解析】设点
的坐标是
.由
，得
，化简得
，∴点
的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为
，故选（B）.

7. 【解析】从所给的三视图可以得到该几何体为三棱锥，如图所示。本题所求表面积应为三棱锥四个面的面积之和，利用垂直关系和三角形面积公式，可得：
，
，
，
，因此该几何体表面积
，故选C。

8.【解析】在同一坐标系中分别画出两个函数的图象，当
时，要想满足条件，则有如图做出点A关于原点的对称点C,则C点坐标为
，由图象知
即
，同理当
时，则有
，故答案选D.

11．【解析】当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为，

∴ 所求直线方程为y＝x，即x－7y＝0．当直线l不过原点时，设其方程＋＝1，

由题意可得a＋b＝0， ① 又l经过点(7,1)，有＋＝1， ②

由① ② 得a＝6，b＝－6，则l的方程为 ＋＝1，即x－y－6＝0．

故所求直线l的方程为x－7y＝0或x－y－6＝0．

12.【解析】法一：因为
点在线段
上，所以
，又因为
点在线段
上，所以点
到平面
的距离为1,即
，所以
.

法二：使用特殊点的位置进行求解，不失一般性令
点在
点处，
点在
点处，则
。

14. 【解析】解:函数
，当
时，
，

当
时，
，

综上函数
，做出函数的图象(蓝线)，

要使函数
与
有两个不同的交点，则直线
必须在四边形区域

ABCD内和直线
平行的直线除外，如图，则此时当直线经过
，
，综上实数的取值范围是
且
，即
或
。

三、解答题

15解：由题意得解得

即平行四边形给定两邻边的顶点为为．

又对角线交点为D(3,3)，则此对角线上另一顶点为．

∵另两边所在直线分别与直线x＋y＋1＝0及3x－y＋4＝0平行，

∴它们的斜率分别为－1及3，

即它们的方程为y－＝－，及y－＝3，

∴另外两边所在直线方程分别为x＋y－13＝0和3x－y－16＝0．

16.证明：（1）在△PAD中，因为E、F分别为

AP，AD的中点，所以EF//PD.

又因为EF
平面PCD，PD
平面PCD，

所以直线EF//平面PCD.

（2）连结DB，因为AB=AD，∠BAD=60°，

所以△ABD为正三角形，因为F是AD的

中点，所以BF⊥AD.因为平面PAD⊥平面

ABCD，BF
平面ABCD，平面PAD
平面ABCD=AD，所以BF⊥平面PAD。又因为BF
平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.





18（Ⅰ）解：在四棱锥
中，因
底面
，
平面
，故