揭阳第一中学2012—2013学年度第二学期高一级期中考试

理科数学试卷 命题人：林冬阳

一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分. 在四个备选项中，只有一项符合题目要求）

1.
=（ ）

A.
B.
C.
D.

2、在下列区间中，函数
的零点所在区间是（ ）

A.

B.
C.
D.

3.已知
是两两不重合的三个平面，下列命题中错误的是（ ）

A．若
，则
B．若
，则

C．若
，则
D．若
，则

4．下列函数中既是奇函数，又在区间
上是增函数的为（ ）

A．
B．

C．
D．

5.一个空间几何体的三视图如图所示，

则该几何体的表面积为（ ）

（A）48 （B）32+8

（C）48+8
（D）80

6. 函数
的部分图象如右图，则
、
可以取的一组值是（ ）

A.
B.

C.
D.

7．函数y＝cosx·|tanx|  的大致图象是(　　)

8. 函数f(x)＝M sin (ωx＋φ)，(ω＞0) 在区间 [ a , b ] 上是增函数，且f(a)＝－M，f(b)＝M，

则函数g(x)＝M cos (ωx＋φ) 在 [ a , b ] 上（ ）

增函数 B．是减函数 C．可以取最大值M D．可以取最小值－M

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）

9. 化简：
=

10.如图，在棱长为
的正方体
中，

分别是
的中点，则异面直线
与

所成角等于

11
已知直线3x＋4y－3 = 0 与 6x＋my＋1 = 0 互相平行, 则它们之间的距离是

12. 经过三点
的圆的方程是 .

13
已知圆
的方程为
，过点
的直线
与圆
交于
两点，若使
最小，则直线
的方程是________________

14．给出下列四个结论：

① 若角的集合
，则
；

②

③
是函数
的单调递减区间

④ 函数
的周期和对称轴方程分别为

其中正确结论的序号是 ．（请写出所有正确结论的序号）。

三、解答题（共5个题. 15、16题各12分，17、18、19、20题各14分，合计80分）

15. 已知函数
.

（1）列表并画出函数
在长度为一个

周期的闭区间上的简图；

（2）将函数
的图象作怎样的变换

可得到
的图象？

16、(1) 已知直线(a＋2)x+(1－a)y－3=0 和直线(a－1)x ＋(2a＋3)y＋2=0 互相垂直. 求a值

(2) 求经过点
并且在两个坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程

17
定义在
上奇函数
与偶函数
，对任意
满足

+

a为实数

（1）求奇函数
和偶函数
的表达式

（2）若a>2, 求函数
在区间
上的最值

18．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，E为AB的中点，F为CC1的中点.

（1）证明：B F//平面E CD1

（2）求二面角D1—EC—D的余弦值.

19.在平面直角坐标系
中，已知圆心在
轴上、半径为
的圆
位于
轴右侧，且与直线
相切.

（1）求圆
的方程；

（2）在圆
上，是否存在点
，使得直线
与圆
相交于不同的两点
，且
的面积最大？若存在，求出点
的坐标及对应的
的面积；若不存在，请说明理由．

20．设函数
是定义在区间
上的偶函数,且满足

（1）求函数
的周期；

（2）已知当
时，
.求使方程
在
上有两个不相等实根的
的取值集合M.

(3)记
,
表示使方程
在
上有两个不相等实根的
的取值集合,求集合
.

揭阳第一中学2012—2013学年度第二学期高一级期中考试 理科数学答案

一、选择题 B D B B C CCC

二、填空题 9.
10.
11


12.
13

14．①③④

三、解答题（共5个题. 15、16题各12分，17、18、19、20题各14分，合计80分）

15. 解：（1）函数
的周期

由
，解得
. 列表如下：

x















0



π



2π



3sin(
)

0

3

0

–3

0



 ……（3分）

描出五个关键点并光滑连线，得到一个周期的简图. 图象如下.

……（6分）

（2）方法一：先把
的图象向右平移
个单位，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，得到
的图象. ……（12分）

方法二：先把
的图象所有点的纵坐标扩大为原来的3倍，然后把所有点的横坐标扩大为原来的2倍，再把图象向右平移
个单位，得到
的图象. ……（12分）

16、(1)解：当(a＋2) (a－1)+ (1－a) (2a＋3)=0时两直线互相垂直………3分

解得a=1或a=－1 ………6分

(2)解：当截距为
时，设
，过点
，则得
，即
；………8分

当截距不为
时，设
或
………10分

过点
，则得
，或
，即
，或

这样的直线有
条：
，
，或

………12分

17
解：（1）
+

①

②………3分

联立①②得
＝sin2x＋acosx ……5分
………7分

＝1－cos2x＋acosx＝－(cosx－
)2＋
＋1………9分

若a>1,则对称轴
>1,且x

时，cosx
[-1,
]……11分

当cosx=-1 ,h(x)min=－a,当cosx=
, h(x)max=
……14分

18．（本小题满分14分）

（1）证明：取CD1 中点G，连结FG

∵F为CC1的中点.D1 ∴
且FG //C1D1

∵
且AB //C1D1∴
且FG //BE

∴四边形FG EB为平行四边形∴BF //GE………4分

∵
平面E CD1
平面E CD1

∴B F//平面E CD1………7分

（2）连结DE

∵AD=AA1=1，AB=2 , E为AB的中点

∴
………9分

∵
平面ABCD ∴
E C

又

平面E DD1
平面E DD1

∴
平面E DD1

∴
E D1………11分

∴∠DED1为二面角D1—EC—D的平面角. ………12分

中
∴
中

∴cos∠DED1
………14分

19.（本题满分14分）

解:（1）设圆心是
，它到直线
的距离是
，

解得
或
（舍去）……………………………………………………4分

所求圆
的方程是
……………………………………………………6分

（2）
点
在圆
上

，
且

又
原点到直线
的距离
………………………8分

解得
……………………………………………………………………………9分

而


……11分

………………………………………………………………………………12分

当
，即
时取得最大值
，

此时点
的坐标是
与
，面积的最大值是
.……………14分

20．（本题满分14分）

解：（1）因为

所以
是以2为周期的函数 ……………..3分

（2）当
时，
即

可化为:
且
,

平面直角坐标系中表示以（0，1）为圆心，半径为1的半圆…
………5分

方程
在
上有两个不相等实根即为直线
与该半圆有两交点

记A(-1,1), B(1,1)，得直线OA、OB斜率分别为-1，1…
………6分

由图形可知直线
的斜率满足
且
时与该半圆有两交点

故所求
的取值集合为
=
…
………8分

（3）函数f(x)的周期为2
, ………..9分

当
时，
，

的解析式为：
.
即

可化为:
且
…
………12分

平面直角坐标系中表示以（2k，1）为圆心，半径为1的半圆

方程
在
上有两个不相等实根即为直线
与该半圆有两交点

记
，得直线
的斜率为
…
………13分

由图形可知直线
的斜率满足
时与该半圆有两交点

故所求