屯溪一中高一年级第二学期数学期中测试卷

满分:150分 ?考试时间:120分钟

一．选择题：（本题共10小题，每小题5分，共50分. 每小题分别给出四个选项，只有一个选项符合题意.）

1．已知集合
，若
，则实数
的取值范围是（? ）

A．
????? ?B．
????? ?C．
???D．

2．函数
的最小值等于（??? ）

A．
??????? B．
??????? C．
?????? D．

3．已知数列
中，
且
，则
（ ）

A．
??????? ??? B．
???? ??? C．
?????? D．

4．若函数
的图象与
轴没有交点，则点
在
平面上的区域(不含边界)为(　 )

5. 如图，半圆的直径
为圆心，
是半圆上不同于
的任意一点，若点
是半径
上的动点，则
的最小值为（ ）

A．2 B.
C.
D.

6.已知数列
的通项公式
,
，设其前
项和为
，则使
成立的最小自然数
等于（???? ）

?A．
?? B．
?????? C．
???? D．

7．在
中，
是
边上的高，
，则（ ）

A．
B.
C.
D.

8.在平面直角坐标系中，若不等式组
表示一个三角形区域，则实数
的取值范围是( )

A．
???B．
??C．
?? D．

9.已知数列
满足
,
,若
, 则数列
的前
项的和
为（ ）

A．
B．
C．
D．

10．定义在
上的函数
是减函数，且函数
的图象关于
成中心对称，若
满足不等式
.则当
时，
的取值范围是（ ）

A.
B.
C.
D.

二.填空题：（本题共5小题，每小题5分，共25分.）

11．已知
，且
，则
????????? .

12．设关于
的不等式
,
的解集中整数的个数为
，数列
的前
项和为
，则
的值为 .

13.若函数
，则






?? ? ?? ．

14．已知正项等比数列
满足
，若存在两项
使得
，则
的最小值为?? ? ?? ．

15．如图，过
轴上的点
作垂直于
轴的直线交曲线
于点
，又过点
作
轴的平行线交
轴于点
，记点
关于直线
的对称点为
；……；依此类推.若数列
的各项分别为点列
的横坐标，且
，则
　 .

三．解答题 （75分 ）

16．（本小题满分12分）已知数列
为等差数列，且
．
为等比数列，数列
的前三项依次为
.求:

（Ⅰ）数列
，
的通项公式；（Ⅱ）数列
的前
项和
.

17. （本小题满分12分）在
中,角
的对边的边长分别为
，且
成等比数列.

（Ⅰ）求角
的取值范围；

（Ⅱ）若关于
的不等式
恒成立，求
的取值范围.

18．（本小题满分13分）如图，某化工集团在一条河流的上、下游分别建有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向河道内排放污水
万
，每天流过甲厂的河水流量是
万
（含甲厂排放的污水）；乙厂每天向河道内排放污水1.4万
，每天流过乙厂的河水流量是
万

（含乙厂排放的污水）.由于两厂之间有一条支流的作用，使得甲厂排放的污水在流到乙厂时，有20%可自然净化.假设工厂排放的污水能迅速与河水混合，且甲厂上游及支流均无污水排放. 根据环保部门的要求，整个河流中污水含量不能超过0.2%，为此，甲、乙两个工厂都必须各自处理一部分污水.

（Ⅰ）设甲、乙两个化工厂每天各自处理的污水分别为
万
，试根据环保部门的要求写出
所满足的所有条件；

（Ⅱ）已知甲厂处理污水的成本是1200元/万
，乙厂处理污水的成本是1000元/万
，在满足环保部门要求的条件下，甲、乙两个化工厂每天应分别各自处理污水多少万
，才能使这两个工厂处理污水的总费用最小？最小总费用是多少元？

19．（本小题满分12分）已知
中，角
的对边的边长分别为
，关于
的不等式
的解集是空集．

（Ⅰ）求角
的最大值；

（Ⅱ）若
，
的面积
，求当角
取最大值时
的值．

20．（本小题满分13分）在实数集
上的函数
如果满足：对任意
，都有
，则称
为
上的凹函数.

已知二次函数
，（Ⅰ）求证：
时，函数
为凹函数；

（Ⅱ）如果
时，
恒成立，试求实数
的取值范围.

21．（本小题满分13分）已知函数
的图象过点
和
.

（Ⅰ）求函数
的解析式；

（Ⅱ）记
，是否存在正数
，使得
对一切
均成立？若存在，请求出
的最大值；若不存在，请说明理由.

屯溪一中高一年级第二学期期中考试数学

答案

选择题：

1.C 2.B 3. D 4.D 5. D 6.C 7.A 8.A 9.A 10. D

填空题：

11.
12.
13.
14.
15.

解答题：

16.（满分12分）

解：①设公差为
，公比为

　…………………………………(６分)

②

…………………………………(1２分)

17. 解：1）

当且仅当
时，
故

2）

＝

故原不等式恒成立，即
得

的取值范围为

18. 【解】（Ⅰ）据题意，
所满足的所有条件是：
， （4分）

即
…………………………………… （6分）

（Ⅱ）设甲、乙两厂处理污水的总费用为z元，则

目标函数z＝1200x＋1000y＝200(6x＋5y). （7分）

作可行域，如图. （10分）

平移直线
6x＋5y=0，当直线经过点A(1，0.8)时，

z取最小值，此时z＝1200×1＋1000×0.8＝20