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　　2012--2013高一第二学期期中试卷.doc

　　2012--2013高一第二学期期中试卷答案.doc

江苏省南菁高级中学

2012—2013学年第二学期期中考试高一数学试卷

一、填空题：(本题包括14小题，每题5分，共70分)

1．经过点A(3，2)，且与直线3x + 2y + 1 = 0垂直的直线方程是____________________．

2．不等式 ?x2+x+2 > 0的解集___________________．

3．在等差数列{an}中，若a5 = ?2，a9 = ?8，则a7 = __________．

4．在△ABC中，A = 60°，B = 45°，b =
，则a = _________．

5．若不等式 |x + 1| + |x ? 3| ≥ a 对x∈R恒成立，则a的取值范围____________．

6．已知a > 0，c > 0，3是3a与3c的等比中项，则 ＋ 的最小值是 ．

7．已知直线l1：ax + 3y = 1，l2：2x + (a + 1)y = 1，若l1∥l2，则实数a的值是__________．

8．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c.若(a2 + c2 ? b2) tanB =
ac，则∠B的值等于__________________．

9．设x，y为正实数，若4x2 + y2 + xy = 1，则2x + y的最大值____________．

10．满足线性约束条件，(a为奇数)的平面区域为一个直角三角形，则目标函数 z = x + y 的最大值是_______________．

11．已知数列{2n?1an}的前n项和Sn = 9 ? 6n，则数列{an}的通项公式_________________．

12．有如下命题：

①若sin2A = sin2B，则△ABC一定为等腰三角形；

②已知函数f(x)=．若f(x)≤2，则x∈[0，+∞)；

③若sin2A + sin2B + cos2C < 1，则△ABC一定为钝角三角形；

④已知数列{an}，a1=32， an+1? an =2n，则最小值是.

则其中正确命题的序号是_____________．

13．数列{an}的前m项为a1，a2，… ，am (m∈N*)，若对任意正整数n，有an+m = anq (其中q为常数，q ≠ 0且q ≠ 1)，则称数列{an}是以m为周期，以q为周期公比的似周期性等比数列．已知似周期性等比数列{bn}的前7项为1、1、1、1、1、1、2，周期为7，周期公比为3，则数列{bn}前7k + 1项的和等于__________________(k为正整数)．

14．对任意x∈R，函数f(x)满足f(x + 1) =  + 1，设an = [f(n)]2 ? 2f(n)，数列{an}的前2013项和为－ ，则f(2013) = __________．

二、解答题：(本题包括6小题，共90分)

15．(本题满分14分)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．

(1)若cos(A＋) = sinA，求A的值；(2)若cosA = ，4b = c，求sinB的值．

16．(本题满分14分)已知点A(?3，?2)，B(2，?1)，直线l：ax ? y + 2a + 1 = 0

(1)当直线l与线段AB相交时，求a的取值范围；

(2)若a > 0，求l与坐标轴围成的面积最小时，直线l的方程．

17．(本题满分15分)已知等比数列{an} (n∈N*)，满足2a1 + a3 = 3a2，且a3 + 2是a2，a4的等差中项

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若
，求使
成立的正整数n的最小值．

18．(本题满分15分)某种商品原来每件售价为25元，年销售量8万件．

(1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少1000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？

(2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量．公司决定明年对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价x元．公司拟投入(x2 + 50x + 25)万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入(x + 5)万元作为浮动宣传费用．试问：当该商品明年的销售量a至少应达到多少万件时，才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和？并求出此时商品的每件定价．

19．(本题满分16分)已知函数f(x) = x2 ? 1，g(x) = a|x ? 1|．

(1)若关于x的方程 |f(x)| = g(x) 只有一个解，求实数a的取值范围；

(2)若当x∈R时，不等式f(x) ≥ g(x)恒成立，求实数a的取值范围；

(3)当a≥?3，求函数h(x) = |f(x)| + g(x) 在区间[?2，2]上的最大值．

20．(本题满分16分)

数列{an}是一个无穷数列，记Tn = a1 + 2a2 + … + 2n+1an+2 + 2a1 ? a3 ? 2n+2an+1，n∈N*．

(1)若{an}为等差数列，证明：对于任意的n∈N*，Tn = 0；

(2)对任意的n∈N*，若Tn = 0，证明{an}为等差数列；

(3)若Tn = 0，且a1 = 0，a2 = 1，数列{bn}满足bn =
，由{bn}构成一个新数列3，b2，b3，… ，bn，设这个新数列的前n项和为Sn，若Sn可以写成ab (a，b∈N，a > 1，b > 1)的形式，则称Sn为“好和”．试问：S1，S2，S3，…… 中是否存在“好和”？若存在，请求出所有“好和”；若不存在，请说明理由．