一、填空题

1．不等式
的解集是 ▲ ．

2．函数
的最小值为 ▲ ．

3．下图是用同样规格的黑、白两色正方形瓷砖铺设的若干图案，则按此规律第
个图案中需用黑色瓷砖 ▲ 块．

4．在
中，
，
，
，则
= ▲ ．

5．已知
，则
的值等于 ▲ ．

6．在△
中，已知
，则= ▲ ．

7．若
是等比数列，
，且公比为整数，则= ▲ ．

8．在
中，若
，则
的形状是 ▲ ．

9．已知关于的不等式
的解集为（2，
），则
的解集为 ▲ ．

10．在
中，
，
，则
= ▲ ．

11．已知实数
为等比数列，
存在等比中项，
的等差中项为，则
▲ ．

12．已知
，则
的值等于 ▲ ．

13．数列
的通项
，第2项是最小项，则
的取值范围是 ▲ ．

14．设
，且
，记
中的最大数为
，则
的最小值为 ▲ ．

二、解答题

15．设
是等比数列
的前项和，且
，
．

（1）求
的通项公式
；

（2）设
，求数列
的前项和
．

16．已知在
中，角
所对的边分别为
，且

．

（1）求角；

（2）若
的外接圆半径为2，求
的面积．

17．（1）如图，已知
是坐标平面内的任意两个角，且
，证明两角差的余弦公式：
；

（2）已知
，且
，
，求
的值.

18．如图，某城市设立以城中心
为圆心、公里为半径的圆形保护区，从保护区边缘起，在城中心
正东方向上有一条高速公路
、西南方向上有一条一级公路
，现要在保护区边缘PQ弧上选择一点A作为出口，建一条连接两条公路且与圆
相切的直道
．已知通往一级公路的道路
每公里造价为万元，通往高速公路的道路
每公里造价是
万元，其中
为常数，设
，总造价为万元．

（1）把表示成
的函数
，并求出定义域；

（2）当
时，如何确定A点的位置才能使得总造价最低？

19．已知函数

（1）若不等式
的解集为，求的取值范围；

（2）解关于的不等式
；

（3）若不等式
对一切
恒成立，求的取值范围．

20．设数列
的前项和为
，且方程
有一个根为
，
．

（1）证明：数列
是等差数列；

（2）设方程
的另一个根为
，数列
的前项和为
，求
的值；

（3）是否存在不同的正整数
，使得
，
，
成等比数列，若存在，求出满足条件的
，若不存在，请说明理由．

2012～2013学年度第二学期高一年级调研测试

数学参考答案

二、解答题

15．解：（1）设
的首项为
，公比为

当
时，
，
，则
，不合题意； …………2分

当
时，
，两式相除得
，

∴
，∴
……………………6分

∴
……………………8分

（2）∵
，∴
……10分

当
时，
……12分

当
时，

综上所述：当
时，
，当
时，
…………14分

17．（1）证明：设
、
分别为
终边与单位圆的交点，则
，
，

则
， …………………3分

又∵
的夹角为
，

∴
， …………………6分

∴
…………………7分

18． 解：（1）∵
与圆O相切于A，

∴OA⊥
，在
中，
， …………………2分

同理，
…………………4分

∴
，

∴
， …………………6分

定义域为：
…………………8分

答：当
取
，即A点在O东偏南
的方向上，总造价最低． …………16分

19．解：（1）①当
即
时，
，不合题意； …………1分

②当
即
时，

，即
， ………………3分

∴
，∴
……………5分

（2）
即

即

①当
即
时，解集为
…………………7分

②当
即
时，

∵
，∴解集为
…………………9分

③当
即
时，

∵
，∴解集为
…………………11分

（3）
，即
，

∵
恒成立，∴
………………13分

设
则
，

∴
，

∵
，当且仅当
时取等号，∴
，当且仅当
时取等号，

∴当
时，
，∴
…………………16分

20．解：（1）证明∵
是方程
的根，

∴

当
时，
，∴
，

解得
，∴
…………………2分

当
时，
，∴

化简得
,∴
，∴
，

∴
，又
………………5分

∴数列
是以
为首项，
为公差的等差数列 ………………6分

（2）由（1）得，

∴
，带入方程得，
，∴
,

∴原方程为
，∴
，∴
…………8分

∴
①

②

① — ②得

………………11分

,∴
………………12分