2012学年度下学期期末考试高一级数学科试题

参考公式: 回归直线方程
中,

,
;

.

一、选择题．本大题共10小题，每小题5分，共50

　分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合

题目要求的，请把正确填涂在答题卡上．

1．如图所示程序框图，能判断任意输入的数x的奇

偶性．其中判断框内的条件是 （ ）

? ? B.
C.?
D.

2. 设
，则下列不等式中一定成立的是　 （ ）

A．
B．
C．
D．

3. △ABC中，若
，则△ABC的形状为 （ ）

A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．不等边三角形

4. 在等差数列
中，若前5项和
，则
等于 （ ）

A 4 B －4 C 2 D－2

5．下列关于数列的命题中，正确的是 （ ）

A．若数列
是等差数列，且
（

），则

B．若数列
满足
,则
是公比为2的等比数列

C． －2和－8的等比中项为±4

D． 已知等差数列
的通项公式为
，则
是关于
的一次函数

6．在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是 （ ?）

A．b = 10，A = 45°，B = 70°?????B．a = 60，c = 48，B = 100°

C．a = 7，b = 5，A = 80°???? ?D．a = 14，b = 16，A = 45°

7．已知
满足约束条件
，则
的最大值为 （ ）

A．
B．
C．3 D．5

8. 某程序框图如图所示, 该程序运行后

输出的S的值为 ( )

A.63 B.100

C. 127 D.128

9．设
是等比数列，
为其前项和，

(
), 下列语句中, 错误的是 （ ）

A．数列
是等比数列

B．数列
是等比数列

C．数列
是等差数列

D．
，
，
是等比数列

10. 有下列四句话：

①如果
是方程
的两个实根, 且
,

那么不等式
的解集为
;

② 当Δ＝
时，关于的二次不等式
的解集为
;

③ 不等式
与不等式
的解集相同；

④ 不等式
的解集为
.

其中可以判断为正确的语句的个数是 ( )

A． 3　　　 B．2　　　 C．1　 D．0

二、填空题．本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答卷相应的横线上．

11. 某公司有1000名员工，其中, 高层管理人员占5％，中层管理人员占15％，一般员工占80％，为了了解该公司的某种情况，现用分层抽样的方法抽取120人进行调查，则一般员工应抽取??? ?? 人．

12．若
，则
的最大值为 。

13．
(用数字作答) ．

14．已知数列
中，
，则数列
通项公式是
=______________.

三、解答题．本大题共6小题，满分80分.解答须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．

15. (12分) 在等差数列
中,
,

(1) 求数列
的通项公式；

(2) 当n为何值时, 数列
的前n项之和
最大? 并求此最大值．

16. (12分)如图四边形ABCD中，已知AC=
,

，
，BC=

(1) 求线段CD的长度；

(2) 求线段BD的长度．

17．(14分)假设关于某设备的使用年限x（年）和所支出的维修费用y（万元）有如下统计资料：

x（年）

2

3

4

5

6



y（万元）

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0



若由资料知，y对x呈线性相关关系，试求：

（1）回归直线方程；

（2）根据回归直线方程, 估计使用年限为10年时，当年维修费用约是多少？

[参考数据：2×2.2＋3×3.8＋4×5.5＋5×6.5＋6×7＝112.3]

18．(14分)设函数
的定义域为R，
既是奇函数又是增函数. 是否存在实数
，使
对所有的
均成立？

若存在，求
的取值范围；若不存在，说明理由．

19．(14分)　设数列
的前项和为
，
,
,(
),

求数列
的通项公式；

设
，求证：
．

(3) 若数列
满足：
，请写出
的前项和
的公式（只要结果，不须推导），并据此求出
的值．

20．(14分)　如图，两个工厂A，B相距2 km，点O为AB的中点，现要在以O为圆心，2 km为半径的圆弧MN上的某一点P处建一幢办公楼，其中MA⊥AB，NB⊥AB.据测算此办公楼受工厂A的“噪音影响度”与距离AP的平方成反比，比例系数是1，办公楼受工厂B的“噪音影响度”与距离BP的平方也成反比，比例系数是4，办公楼受A，B两厂的“总噪音影响度”y等于受A，B两厂“噪音影响度”的和，设AP为x km .

(1) 求“总噪音影响度”y关于x的函数关系式，

并求出该函数的定义域；

(2) 当AP为多少时，“总噪音影响度”最小？

2012学年度下学期期末考试高一数学参考答案及评分标准

一、选择题 A C B A C D C C D D

二、填空题。

11. ?96?． 12. 9 . 13． 333300 14．
.

三、解答题。

15. 解: (1)
是等差数列.

………………………………………………………………………4分

………………………………………………….6分

(2)由(1)得
………………………………..9分

故当n=13时, 前n项之和
最大, 最大值是169 ．………………………………….12分

16. 解: (1)由题意知AC=
,

,

……………..2分

在
中,由正弦定理得,
　……………………………………4分

　………………………………………………………………6分

(2)
, BC=

在
中, 由余弦定理, 得

………………………………8分

…………………………………………11分

　 ………………………………………………………………………………12分

17．解：（1）
……………………………………………………………2分

,
…………………………………………………………　4分

……………………………………　8分

………………………………………………………　10分

∴回归直线方程为
…………………………………………………　11分

（2）当x=10时，
（万元） …………………………　13分

答: 使用年限为10年时，当年维修费用约是12．38万元………………………………　14分

18．解： ∵
是定义在R上的奇函数,
,

∴
, ……………2分

∵
在R上是增函数,

∴
, ………………………………………………… 4分

∴
,

即
…… ……………………………　6分

………………………………………　7分

…………8分

∴
……………11分

……………………………………………………………………… 13分

因此，满足条件的实数
存在，
的取值范围为
． ……………14分

19．解：（1）由
，得
， …………………………………………………1分

∵
, ∴

于是，当
时，
，
，
，

累加之，得
， ……………………………………………………………4分

∴
……………………………………………………………………5分

而
，即
也满足上式,

∴
（
）． ……………………………………………………………… 6分

当
时，
，∴
； …………………………………… 7分

当
时，

………… 9分

，…………………………………… 11分

∴
． ……………………………………………………………………12分

，
， ………………………13分

． …………………………………………………………14分

20．解：(1)连结OP，设∠AOP＝α，则≤α≤. ………………………1分

在△AOP中，由余弦定理得 x2＝12＋22－2×1×2×cosα＝5－4cosα.

在△BOP中，由余弦定理得 BP2＝12＋22－2×1×2×cos(π－α)＝5＋4cosα.

∴ BP2＝10－x2.则y＝＋＝＋. ………………………5分

∴ ≤α≤.∴－≤cosα≤.

∴ 3≤5－4cosα≤7，

即有 ≤x≤.

∴ y＝＋，定义域为 {x|≤x≤}．………………………7分

(2) 由(1)得y＝＋＝(＋)[x2＋(10－x2)] ……9分

＝(5＋＋) ……………………………………………10分

≥(5＋2＝. ………………………………11分

当且仅当 ＝，即x2＝ 时取等号，…………………12分

此时x＝∈
………… …………………13分

答：当AP为km时，“总噪音影响度”最小．………………… 14分