信阳市2013~2014学年度高一上期期末

数学试卷参考答案

1．A 由<3x<9得－1

由2x－5>1，得x>3，∴N＝{x|x>3}．故(UM)∩N＝{x|x>3}．

2．D 依据选项，因为{y|y＝log2x，x∈A}＝{0，1，2}?{0，1，2，3，4}，所以选D.

3．D 平面图形与直观图形的面积之比为1∶，由题知直观图的面积为1，则平面图形的面积S＝2＝2.

4．C 由，解得，又交点在第一象限，则?1

5．B ∵f()＝2－log0.5＝－2<0，f()＝2－log0.5＝－1>0，

f()·f()<0，又f(x)在(0，＋∞)上单调递增，∴函数f(x)的零点所在区间为(，)．

6．D 由三视图可知，原几何体是由一个底面边长为1的正方形，高为5的长方体和3个底面半径为，高为4的圆柱组成，其体积为5＋3π.

7．C 依题意知a－3＋2a＝0，解得a＝1，所以直线l2的方程可化为y＝x＋，所以直线l2的斜率为1.

8．A 若m?α，n?α，l⊥n，l与m可能平行、相交、也可能异面，B错误．

m?α，n?α，l⊥m，l⊥n，需要m∩n＝A才有l⊥α，C错误．

若l⊥m，l⊥n，n与m可能平行、相交、也可能异面，D错误．

9．B 正四棱柱的体对角线即为球的直径，由题知底面边长为2，高为4，则2r＝＝2，r＝，故球的体积为V＝π()3＝8π.

10．A 设3a＝4b＝6c＝k，则a＝log3k，b＝log4k，c＝log6k，＝logk3，＝logk4，＝logk6，

＝2logk6＝logk36，＝2logk3＝logk9，＋＝logk9＋logk4＝logk36，故选A.

11．D ∵a＞0，x＜－1时，f(x)＝a (x－1)＋1是增函数，∴解得≤a＜1.

12．D 由y＝k(x－2)＋4知直线l过定点(2，4)，将y－1＝两边平方得x2＋(y－1)2＝4，则曲线是以(0，1)为圆心，2为半径，且位于直线y＝1上方的半圆．当直线l过点(－2， 1)时，直线l与曲线有两个不同的交点，此时k＝＝，直线记为l1；当直线l与曲线相切时，由＝2，得k＝，切线记为l2，所以当l夹在l1与l2之间时，l与曲线有两个不同的交点，因此

13．(0，，0) 设P点坐标为(0，a，0)，由|PA|＝|PB|，得

＝，解得a＝.

14．27 设f(x)＝xa，则f(4)＝8＝4a，得23＝22a，即a＝，∴f(x)＝x，f(9)＝27.

15．a≥1或a＝0 作出y＝|2x－1|的图象，如图，要使直线y＝a与图象的交点只有一个，∴a≥1或a＝0.

16. 记切点为A，圆心C的坐标为(2，－2)，因为|PC|2＝|PA|2＋|CA|2，|PA|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－r2，所以当|PC|2最小时，切线|PA|最小．而|PC|min即为圆心C到直线l的距离，∴|PC|min＝＝4，此时|PA|＝＝.

17．解：(Ⅰ)由题意知A＝{x|x≥2}，B＝{y|1≤y≤2}，

∴A∩B＝{2}.(4分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知B＝{y|1≤y≤2}，又C?B.

①当2a－1＜a时，a＜1，C＝?，满足题意．

②当2a－1≥a，即a≥1时，要使C?B，则

解得1≤a≤.

综上，a∈(－∞，].(10分)

18．解：(Ⅰ)因为f(x)＝ax＋，由f(2)＝－5，得2a＋1＝－5，即a＝－3，

所以f(x)＝－3x＋，其定义域为{x|x≠0}．

又f(－x)＋f(x)＝[－3(－x)＋]＋(－3x＋)＝3x－－3x＋＝0，

所以函数f(x)是奇函数.(6分)

(Ⅱ)任取x2＞x1＞0，

则f(x2)－f(x1)＝(－3x2＋)－(－3x1＋)＝3(x1－x2)＋＝(x1－x2)(3＋)．

因为x2＞x1＞0，所以x1－x2＜0，x1x2＞0，所以(x1－x2)(3＋)＜0，

所以f(x2)－f(x1)＜0，所以函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数.(12分)

19．解：将圆C化为标准方程(x＋2)2＋(y－3)2＝5，它是以C(－2，3)为圆心，为半径．

(Ⅰ)当直线l垂直x轴时，直线l的方程为x＝－1，圆心到直线x＝－1的距离为1，

|AB|＝2＝4，不合题意；

当直线l不垂直x轴时，设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)，即kx－y＋k＋2＝0，圆心到直线l的距离为d，则d＝＝＝，两边平方化简得k2＋4k＋1＝0，解得k＝－2＋，或者k＝－2－，故直线l的方程为(－2＋)x－y＋＝0或(－2－)x－y－＝0.(6分)

(Ⅱ)当直线l过点M(－1，2)且与CM垂直时弦长最短，此时kCM＝＝－1，则kl＝1，故直线l的方程为x－y＋3＝0.弦长为2＝2＝2.(12分)

20．证明：(Ⅰ)?BO1∥平面ACE.(5分)

(Ⅱ)??平面CDE⊥平面CD1O.(12分)

21．解：(Ⅰ)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2，圆心为(－1，2)，半径r＝.

①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，

由直线与圆相切得y＝(2±)x.

②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y＋a＝0，

由直线与圆相切得x＋y＋1＝0或x＋y－3＝0.(6分)

(Ⅱ)由|PO|＝|PM|得x＋y＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2?2x1－4y1＋3＝0，

即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上，当|PM|取最小值时即|OP|取得最小值，直线OP⊥l，

∴直线OP的方程为2x＋y＝0.

解方程组得P点坐标为(－，)．(12分)

22．解：(Ⅰ)∵f(－1)＝0，∴a－2b＋1＝0，又f(x)的值域为[0，＋∞)，∴

∴b2－(2b－1)＝0，∴b＝1，a＝1，

∴f(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2.

∴F(x)＝(6分)

(Ⅱ)∵f(x)是偶函数，∴f(x)＝ax2＋1，

F(x)＝

∵m·n＜0，设m＞n，则n＜0.

又m＋n＜0，－n＞m＞0，∴|m|＜|－n|，

F(m)＋F(n)＝f(m)－f(n)＝(am2＋1)－an2－1＝a(m2－n2)＞0，

∴F(m)＋F(n)不能小于零．(12分)