太和二中2013-2014年度上学期高一数学期末考试题

考试时间：90分钟 满分150分

2014年1月18日

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．已知全集U=Z，集合A={-2，-l，1，2}，B={1，2}，则
=（ ）

A、{-2，1} B．{1，2} C{-1，-2} D．{-1，2}

2.函数
在区间(0,1)内的零点个数是 （ ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

3.已知过点P(-2，m)，Q(m，4)的直线的倾斜角为45o，则m的值为（ ）

A、l B、2 C、3 D、4

4. 已知
，
，
，则
的大小关系是（ ）。

A、
B、
C、
　 D、

5. 圆(x－3)2＋(y＋4)2＝1关于直线y＝—x+6对称的圆的方程是 (　　)

A．(x＋10)2＋(y＋3)2＝1 B．(x－10)2＋(y－3)2＝1

C．(x－3)2＋(y＋10)2＝1 D．(x－3)2＋(y－10)2＝1

6．函数
的定义域是（ ）

A．
B．
C．
D．

7. 函数
的零点所在的大致区间是（ ）

A、(6，7) B、(7，8) C、(8，9) D、(9，10)

8.设函数
，若
的图像与
图像有且仅有两个不同的公共点
,则下列判断正确的是( )

A. 当
时，
B. 当
时，

C. 当
时，
D. 当
时，

二．填空题（每小题5分，共30分）

9. 若函数
在区间[2，+)上的最小值为 -3，则实数m的值为 ．

10.如图所示,空间四边形ABCD中,AB＝CD,AB⊥CD,E、F分别为BC、AD的中点，则EF和AB所成的角为

11.已知直线l经过点(7,1)且在两坐标轴上的截距互为相反数，则直线l的方程

12．如图，正方体
的棱长为1，
分别为线段
上的点，则三棱锥
的体积为 ____________.

13．三棱锥P-ABC的两侧面PAB，PBC都是边长为2的正三角形，AC=
，则二面角A—PB—C的大小为 ．

14. 定义在R上的偶函数
满足
，且当
时
，则
等于 ．

三、解答题(共6题,共80分，解答写出必要的证明过程、文字说明)

15. （本题满分12分）

平行四边形的两邻边所在直线的方程为x＋y＋1＝0

及3x－4＝0，其对角线的交点是D(3,3)，求另两边所在的直线的方程．

16.（本题满分12分）

如图，在四棱锥
中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E、F分别是AP、AD的中点.求证：

（1）直线EF∥平面PCD；

（2）平面BEF⊥平面PAD

17. （本题满分14分）

已知定义在R上的函数
是奇函数．

(I)求实数a的值；

(Ⅱ)判断
的单调性，并用单调性定义证明；

(III)若对任意的
，不等式
恒成立，求实数k的取值范围．

18、（本题满分14分）

如图，在四棱锥
中，
底面
，

，
，是
的中点．

（Ⅰ）求
和平面
所成的角的大小；

（Ⅱ）证明
平面
；

（Ⅲ）求二面角
的正弦值．

19．（本题满分14分）

已知坐标平面上点
与两个定点
的距离之比等于5.

(1)求点
的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；

(2)记(1)中的轨迹为
，过点
的直线
被
所截得的线段的长为8，求直线
的方程．

20. （本题满分14分）

已知
是定义在R上的奇函数，当
时，
.

(1)求
的值；

(2)求
的解析式；

(3)解关于的不等式
，结果用集合或区间表示．

太和二中2013-2014年度上学期高一数学期末考试题

答案

一、选择题：（
）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8



答案

C

B

A

D

B

B

D

D



二、填空题（
）

9、
； 10、
； 11、x－7y＝0或x－y－6＝0．

12、
； 13、
； 14、2

部分解析

2.【解析】函数
单调递增，又
，
，所以根据根的存在定理可知在区间
内函数的零点个数为1个，选B.

4.【解析】由
，得
，即
，所以集合
，因为
，所以
是方程
的根，所以代入得
，所以
，此时不等式
的解为
，所以
，即
。

5. 【解析】设点的坐标是
.由
，得
，化简得
，∴点的轨迹是以（2，0）为圆心，2为半径的圆，∴所求面积为
，故选（B）.

7.因为
单调递增且
，所以选D。

8.【解析】在同一坐标系中分别画出两个函数的图像，当
时，要想满足条件，则有如图做出点A关于原点的对称点C,则C点

坐标为
，由图象知
即

，同理当
时，则有
，故答案选D.

11．【解析】当直线l经过原点时，直线l在两坐标轴上截距均等于0，故直线l的斜率为，

∴ 所求直线方程为y＝x，即x－7y＝0．当直线l不过原点时，设其方程＋＝1，

由题意可得a＋b＝0， ① 又l经过点(7,1)，有＋＝1， ②

由① ② 得a＝6，b＝－6，则l的方程为 ＋＝1，即x－y－6＝0．

故所求直线l的方程为x－7y＝0或x－y－6＝0．

12.【解析】法一：因为点在线段
上，所以
，又因为点在线段
上，所以点到平面
的距离为1,即
，所以
.

法二：使用特殊点的位置进行求解，不失一般性令点在点处，点在
点处，则
。

三、解答题

15解：由题意得解得

即平行四边形给定两邻边的顶点为为．

又对角线交点为D(3,3)，则此对角线上另一顶点为．

∵另两边所在直线分别与直线x＋y＋1＝0及3x－y＋4＝0平行，

∴它们的斜率分别为－1及3，

即它们的方程为y－＝－，及y－＝3，

∴另外两边所在直线方程分别为x＋y－13＝0和3x－y－16＝0．

16.证明：（1）在△PAD中，因为E、F分别为AP，AD的中点，所以EF//PD.

又因为EF平面PCD，PD平面PCD，所以直线EF//平面PCD.

（2）连结DB，因为AB=AD，∠BAD=60°，

所以△ABD为正三角形，因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.

因为平面PAD⊥平面ABCD，BF平面ABCD，平面PAD
平面ABCD=AD，

所以BF⊥平面PAD。又因为BF平面BEF，所以平面BEF⊥平面PAD.

17.(1)
; (2)增函数；（3）

18（Ⅰ）解：在四棱锥
中，因
底面
，
平面
，

故
．又
，
，从而
平面
．

故
在平面
内的射影为
，

从而
为
和平面
所成的角．

在
中，
，故
．

所以
和平面
所成的角的大小为
．

（Ⅱ）证明：在四棱锥
中，

因
底面
，
平面
，故
．

由条件
，
，
面
．又
面
，
．

由
，
，可得
．
是
的中点，
，

．综上得
平面
．

（Ⅲ）解：过点作
，垂足为
，连结
．由（Ⅱ）知，
平面
，
在平面
内的射影是
，则
．

因此
是二面角
的平面角．由已知，得
．设
，得
，
，
，
．

在
中，
，
，

则
．在
中，

19解：(1)由题意，得＝5．
，化简，

得x2＋y2－2x－2y－23＝0．即(x－1)2＋(y－1)2＝25．

∴点M的轨迹方程是(x－1)2＋(y－1)2＝25，轨迹是以(1,1)为圆心，以5为半径的圆．

(2)当直线l的斜率不存在时，l：x＝－2，此时所截得的线段的长为2＝8，

∴l：x＝－2符合题意．当直线l的斜率存在时，设l的方程为y－3＝k(x＋2)，

即kx－y＋2k＋3＝0，圆心到l的距离d＝，由题意，得2＋42＝52，

解得k＝．∴直线l的方程为x－y＋＝0．即5x－12y＋46＝0．

综上，直线l的方程为x＝－2，或5x－12y＋46＝0．

20.解　(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－2)＝－f(2)，即f(2)＋f(－2)＝0.

(2)当x<0时，－x>0，∴f(－x)＝a－x－1.

∵f(x)是奇函数，有f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝－a－x＋1(x<0)．

∴所求的解析式为f(x)＝.

(3)不等式等价于或，

即或.

当a>1时，有或，注意此时loga2>0，loga5>0，

可得此时不等式的解集为(1－loga2,1＋loga5)．

同理可得，当0

综上所述，当a>1时,不等式的解集为
；

当0