一、选择题（每小题5分，共10个小题，本题满分50分）

1.如果
，则下列各式正确的是( )

A.
B.
C.
D.

2.已知
，则
取得最大值时的值为（ ）

A．
B.
C．
D．

3.一个等比数列前项的和为48，前
项的和为60，则前
项的和为( )

A．
B.
C．
D．

4.若直线
和直线
垂直，则的值为( )

A．
或
B.
或
C．
或
D．
或

5.已知
都是正实数，函数
的图象过(0,1)点，则
的最小值是( )

A．
B.
C． D．

6.钝角三角形ABC的面积是
，AB=1，BC=
，则AC=( )

A. 5 B.
C. 2 D. 1

7.某市生产总值连续两年持续增加.第一年的增长率为，第二年的增长率为，则该市这两年生产总值的年平均增长率为( )

A.
B.

C.
D.

8.一个多面体的三视图如图所示，

则该多面体的表面积为（ ）

A.
B．

C．
D．

9.设
在约束条件
下，目标函数
的最大值大于2，则的取值范围为（ ）

A.
B.
C.
D.

10.直三棱柱
中，
，
分别是
的中点，
，则
与
所成的角的余弦值为（ ）

A.
B.
C.
D.

第Ⅱ卷 (非选择题共100分)

填空题（每小题5分，共5小题，满分25分）

11.当
时，函数
的最小值为 .

12.若等差数列
满足
，则当
时，
的前项和最大.

13.设甲、乙两个圆柱的底面积分别为
，体积分别为
，若它们的侧面积相等，且
，则
的值是 ．

14.已知函数
，若对于任意的
都有
，则实数的取值范围为 .

15.设点
，若在圆
上存在点
，使得
，则的取值范围是________.

解答题（需要写出解答过程或证明步骤）

16.（本小题满分12分）

设
的内角
所对边的长分别是
，且

（Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求
的值.

17.（本小题满分12分）解关于的不等式
,其中常数是实数.

18.（本小题满分12分）

在直角坐标系
中，已知点
，
，
，点
在
三边围成的区域（含边界）上，且
.

（Ⅰ）若
，求
；

（Ⅱ）用
表示
，并求
的最小值.

19.（本小题满分12分)

如图，在四棱锥
中，
丄平面
，
丄
，
丄
，
，
，
.

(Ⅰ)证明：
丄
；

（Ⅱ）求二面角
的正弦值；

(Ⅲ)求三棱锥
外接球的体积.

20. (本小题满分13分)

如图，为保护河上古桥OA，规划建一座新桥BC，同时设立一个圆形保护区．规划要求：新桥BC与河岸AB垂直；保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆，且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m．经测量，点A位于点O正北方向60m处，点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸)，
．以
所在直线为轴，以
所在直线为轴建立平面直角坐标系.

（Ⅰ）求
所在直线的方程及新桥BC的长；

（Ⅱ）当OM多长时，圆形保护区的面积最大？

并求此时圆的方程.

21(本小题满分14分)设各项为正数的数列
的前和为
,且
满足:
.等比数列
满足：
.

(Ⅰ)求数列
,
的通项公式;

(Ⅱ)设
，求数列
的前项的和
；

(Ⅲ) 证明:对一切正整数,有
.

临川一中2013—2014学年度下学期期末考试

高一数学试卷答案

三.解答题

16.解：（Ⅰ）∵
，∴
，

由正弦定理得

∵
，∴
.............................6分

（Ⅱ）由余弦定理得
，

由于
，∴
，

故
..........12分

解原不等式
.........................2分

当
时原不等式的解集为
..............4分

当
时原不等式的解集为
...........6分

当
时原不等式的解集为
.......8分

当
时原不等式的解集为
............10分

当
时原不等式的解集为
.........12分

18解（Ⅰ）

，

∴
....................5分

解：（Ⅰ）
.................4分

（Ⅱ）过作
交
于点
，连接
，则
为所求角

在三角形
中，
........................8分

(Ⅲ)求三棱锥
外接球即为以
为棱的长方体的外接球，长方体的对角线为球的直径

...............12分

20（Ⅰ）建立平面直角坐标系xOy.

由条件知A(0, 60)，C(170, 0)，

直线BC的斜率k BC=－tan∠BCO=－
.

又因为AB⊥BC，所以直线AB的斜率k AB=
.

设点B的坐标为(a,b)，则k BC=

k AB=

解得a=80，b=120. 所以BC=
.

因此直线BC的方程为
，即
..............6分

新桥BC的长是150 m.

（Ⅱ）设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60).

由知，直线BC的方程为

由于圆M与直线BC相切，故点M(0，d)到直线BC的距离是r，

即
.

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

所以
即
解得

故当d=10时,
最大，即圆面积最大.

所以当OM = 10 m时，圆形保护区的面积最大.此时圆的方程为

.....................................13分

得

.............................................9分

(Ⅲ)当
时

..............................................................................................14分