湖南省怀化市2014-2015年学年度高一上期期末教学质量统一检测数学试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共100分. 时量：120分钟.

第Ⅰ卷（选择题 共30分）

一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知角的终边经过点
，则
的值为

A．
B．
C．
D．

2．设平面向量
，
，则
等于

A．
　　　 B．
C．
D．

3．如图，在一个边长为2的正方形中随机撒入200粒豆子，恰有120粒

落在阴影区域内，则该阴影部分的面积约为

A.
B.
C.
D.

4．一个学校高三年级共有学生200人，其中男生有120人，女生有80人．为了调查高三复习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为25的样本，应抽取女生的人数为

A．15 B．20

C．10 D．8

5．执行右面的程序框图，输出的S是

A．25 B．9

C．17 D．20

6．已知向量
，
，则
的

最大、最小值分别是

A．
与 B．
与

C．
与2 D． 8与4

7．为了了解某地区10000名高三男生的身体发育

情况，抽查了该地区100名年龄为17～18岁的

高三男生体重(kg)，得到频率分布直方图如图．

根据图示，请你估计该地区高三男生中体重

在[56.5，64.5]的学生人数是

A．40　　　　　　　B．400

C．4 000 D．4 400

8．代数式
化简后的值为

A．
B．
C．
D．

9．已知，
都是锐角，
，
，则
的值为

A.
B.
C.
D.

10. 如图所示，点是函数
（
）的图象的最高点，
、
是图象与轴的交点，若
，则的值为

A．8 B. 4

C.
D．

第Ⅱ卷（非选择题 共70分）

二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，满分20分．请把答案直接填在答题卡相应的位置上．

11.
的值是________．

12．在圆中，等于半径长的弦长所对的圆心角的弧度数是______.

13．已知平面上三点A、B、C满足
，
，
，则
的值等于 .

14．将二进制数101 101(2)化为十进制数，结果为________．

15．已知
的取值如右表所示： 从散点图分析，与线性相关，

且
，则
.

三、解答题 ：本大题共6个小题，共50分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16．（本小题满分7分）

已知向量
，
．

(Ⅰ)求
的值；

(Ⅱ)若
与
垂直，求
的值.

17．（本小题满分7分）

已知定义在
上的函数
.

(Ⅰ)求
的单调递增区间；

(Ⅱ)若方程
只有一解，求实数的取值范围．

18．（本小题满分8分）

随机抽取某中学甲、乙两班各10名同学，测量他们的身高(单位：cm)，获得身高数据的茎叶图如图(中间的数字表示身高的百位、十位数，旁边的数字分别表示身高的个位数)如图所示．

(Ⅰ)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高；

(Ⅱ)计算甲班的样本方差．

19．（本小题满分8分）

已知平面内三点
、
、
，若
，

求
的值．

20．（本小题满分10分）

某校从参加高三模拟考试的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90,100)，[100,110)，…，[140,150)后得到

如下部分频率分布直方图．

观察图形的信息，回答下列问题：

(Ⅰ)求分数在[120,130)内的频率；

(Ⅱ)若在同一组数据中，将该组

区间的中点值(如：组区间[100,110)的

中点值为＝105.)作为这组数

据的平均分，据此，估计本次考试的平均分；

(Ⅲ)用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120,130)内的概率．

21．（本小题满分10分）

如图，某市准备在道路
的一侧修建一条运动比赛赛道，赛道的前一部分为曲线段
，该曲线段是函数

在
时的图象，且图象的最高点为
；赛道的中间部分是长为
千米的直线跑道
，且
；赛道的后一部分是以
为圆心的一段圆弧
.

(Ⅰ)求
的解析式和
的弧度数；

(Ⅱ)若要在圆弧赛道所对应的扇形
区

域内建一个“矩形草坪
”，矩形的一边

在道路
上，一个顶点
在半径
上，

另外一个顶点在圆弧
上，且设
，

求“矩形草坪
”面积
的最大值，以及

取最大值时
的值．

怀化市2014年上学期期末教学质量统一检测

高 一 数 学 参 考 答 案 及 评 分标 准

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10



答案

A

B

B

C

C

A

C

D

B

D



一、选择题：

二、填空题： 11.
； 12.
； 13. 100； 14. 45； 15.
.

三、解答题：

16解： (Ⅰ)
…………………2分

(Ⅱ) 由已知得
……………4分

由于
与
垂直，
……………6分

……………7分

17解：(Ⅰ) 化简得
……………1分

其递增区间满足
，
………①

又定义域为
…………②

由①②知递增区间应满足：
……………3分

故所求递增区间为
…………4分

(Ⅱ)在同一坐标系中作出
与
的图象，

方程只有一解
两函数图象只能有一个交点，

所以的取值范围是：
………7分

18解：(Ⅰ) 由茎叶图可知乙班平均身高
，………2分

甲班的平均身高

所以乙班的平均身高较高．………4分

(Ⅱ)甲班的方差为：[(182－170)2＋(179－170)2＋(178－170)2＋(171－170)2＋(170－170)2＋

(168－170)2＋(168－170)2＋(164－170)2＋(162－170)2＋(158－170)2]＝54.2……………8分

19解：
，
……………… 2分

由
得
………… 3分

化间得
……………… 4分

……………… 5分

所以


…………8分

20解：(Ⅰ) 分数在[120,130)内的频率为：

1－(0.1＋0.15＋0.15＋0.25＋0.05)＝1－0.7＝0.3………………2分

(Ⅱ)估计平均分为

＝95×0.1＋105×0.15＋115×0.15＋125×0.3＋135×0.25＋145×0.05＝121……4分

(Ⅲ)由题意，[110,120)分数段的人数为60×0.15＝9(人) ………………5分

[120,130)分数段的人数为60×0.3＝18 (人) ………………6分

∵用分层抽样的方法在分数段为[110,130)的学生中抽取一个容量为6的样本，

∴需在[110, 120)分数段内抽取2人，并分别记为m，n ………………7分

在[120, 130)分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d ………………8分

设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120,130)内”为事件A，

则基本事件共有(m，n)，(m，a)，…，(m，d)， (n，a)，…，(n，d)，(a，b)，…，(c，d)共15种．

则事件A包含的基本事件有(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，

(n，b)，(n，c)，(n，d)共9种．

∴P(A)＝＝ ………………10分

21解：(Ⅰ) 由条件得
，…………… 1分

，
………2分

由
…………3分

∴曲线段
的解析式为
………4分

当
时，

又
，
从而得
……………… 5分

(Ⅱ) 由(Ⅰ)可知

又易知当“矩形草坪”的面积最大时，点在
弧上，故
………… 6分

设
，
≤
， “矩形草坪”的面积为

……………… 7分

……………… 8分

∵
≤
， 故当
， 即
时……………… 9分

取得最大值
………………10分