天一大联考（原豫东、豫北十所名校联考）

2014—2015学年高一年级阶段性测试(二)

数学·答案

一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

三、解答题：本大题共6小题，共70分.

（18）证明：（Ⅰ）如图，连接
，易知
，
，

所以
为平行四边形，
.

因为
为长方体，所以
平面
，
平面
，

所以
.

又
，所以
.……………………………（6分）

（Ⅱ）如图，取
的中点
，连接
，

则
，
.

又
，
，所以
，
，

所以
为平行四边形，所以
.

因为
平面
，
平面
，所以
平面
.……………（12分）

（19）解：(Ⅰ)由题意，
，

且当
时，
．

设
，则
，

所以
，

所以当
时，
，

故函数
的解析式为
…………………………………………（2分）

因为函数
为偶函数，故其图象关于轴对称，补充完整的函数图象如图.

……………………………………………………………（4分）

所以函数
的递增区间是
.……………………………………………（6分）

（结果中出现闭区间或半开半闭或半闭半开区间也得分）

(Ⅱ)当
时，
，可知其最小值为
故
.

令
，解得
或
，所以要使函数
在区间
上的值域为
，则
，故实数的取值范围为
…………………………………（12分）

(Ⅱ)设该公司投资保健产品万元，则投资健身器材产品
万元，

依题意得


，…………………………(8分)

令

，则

，

所以当
，即
万元时，该公司一年的投资获得的收益最大，
万元．

………………………………………………………………………………………………(12分)

（21）解：（Ⅰ）如图，取
的中点，连接
.

因为平面
平面
，平面
平面
，
，所以
平面
.

因为
平面
，所以

.

因为
，所以
.

因为
为等边三角形，所以
.

又
，

所以
平面
，
平面
，所以
.………………………………(6分)

（Ⅱ）如图，取
的中点
，连接
，
，则由平面
平面
，知
平面
，

又
，
，所以
.

………………………………………………………………………………………………(12分)

（22）解：（Ⅰ）设圆
的圆心为
，则
解得

将
代入圆
的方程
中，得
，所以圆
的方程为
.

当切线的斜率存在时，设切线方程为
，即
，由题意知
，解得
，即
.

又易知
也与圆
相切，且过点
，

所以所求的切线方程为
和
.……………………………………（4分）