2015年浙江省普通高中学业水平考试《数学》试卷

一、选择题(共25小题，1～15每小题2分，16～25每小题3分，共60分．每小题给出的选项中只有一个是符合题目要求的，不选、多选、错选均不得分)

1. 设集合M＝{0，1，2}，则(　　)

A. 1∈M B. 2?M C. 3∈M D. {0}∈M

2. 函数y＝的定义域是(　　)

A. [0，＋∞) B. [1，＋∞) C. (－∞，0] D. (－∞，1]

3. 若关于x的不等式mx－2>0的解集是{x|x>2}，则实数m等于(　　)

A. －1 B. －2 C. 1 D. 2

4. 若对任意的实数k，直线y－2＝k(x＋1)恒经过定点M，则M的坐标是(　　)

A. (1，2) B. (1，－2) C. (－1，2) D. (－1，－2)

5. 与－角终边相同的角是(　　)

A.  B.  C.  D. 

6. 若一个正方体截去一个三棱锥后所得的几何体如图所示，则该几何体的正视图是(　　)

,(第6题))　　　

7. 以点(0，1)为圆心，2为半径的圆的方程是(　　)

A. x2＋(y－1)2＝2 B. (x－1)2＋y2＝2

C. x2＋(y－1)2＝4 D. (x－1)2＋y2＝4

8. 在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an(n∈N*)，则a4等于(　　)

A. 9 B. 10 C. 27 D. 81

9. 函数y＝的图象可能是(　　)

10. 设a，b是两个平面向量，则“a＝b”是“|a|＝|b|”的(　　)

A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

11. 设双曲线C：－＝1(a>0)的一个顶点坐标为(2，0)，则双曲线C 的方程是(　　)

A. －＝1 B. －＝1

C. －＝1 D. －＝1

12. 若函数f＝sin xcos x，x∈R，则函数f的最小值为(　　)

A. － B. － C. － D. －1

13. 若函数f＝是奇函数，则a的值为(　　)

A. 1 B. 0 C. －1 D. ±1

14. 在空间中，设α，β表示平面，m，n表示直线，则下列命题正确的是(　　)

A. 若m∥n，n⊥α，则m⊥α B. 若α⊥β，m?α，则m⊥β

C. 若m上有无数个点不在α内，则m∥α D. 若m∥α，那么m与α内的任何直线平行

15. 在△ABC中，若AB＝2，AC＝3，∠A＝60°，则BC的长为(　　)

A.  B.  C. 3 D. 

16. 下列不等式成立的是(　　)

A. 1.22>1.23 B. 1.2－3<1.2－2

C. log1.22>log1.23 D. log0.22

17. 设x0为方程2x＋x＝8的解，若x0∈，则n的值为(　　)

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

18. 下列命题中，正确的是(　　)

A. ?x0∈R，x02<0 B. ?x∈R，x2≤0

C. ?x0∈Z，x02＝1 D. ?x∈Z，x2≥1

19. 若实数x，y满足不等式组则2y－x的最大值是(　　)

A. －2 B. －1 C. 1 D. 2

(第20题)

20. 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为线段A1C1的中点，则异面直线DE与B1C所成角的大小为(　　)

A. 15°

B. 30°

C. 45°

D. 60°

21. 研究发现，某公司年初三个月的月产值y(万元)与月份n近似地满足函数关系式y＝an2＋bn＋c(如n＝1表示1月份)．已知1月份的产值为4万元，2月份的产值为11万元，3月份的产值为22万元，由此可预测4月份的产值为(　　)

A. 35万元 B. 37万元 C. 56万元 D. 79万元

22. 设数列{an}，都是等差数列．若a1＝2，则a22＋a33＋a44＋a55等于(　　)

A. 60 B. 62 C. 63 D. 66

23. 设椭圆Γ：＋＝1的焦点为F1，F2.若椭圆Γ上存在点P，使△PF1F2是以F1P为底边的等腰三角形，则椭圆Γ的离心率的取值范围是(　　)

A.  B.  C.  D. 

24. 设函数f＝.给出下列两个命题：

①存在x0∈，使得f<2；②若f＝f，则a＋b>4.其中判断正确的是(　　)

A. ①真，②真 B. ①真，②假

C. ①假，②真 D. ①假，②假

(第25题)

25. 如图，在Rt△ABC中，AC＝1，BC＝x，D为斜边AB的中点．将△BCD沿直线CD翻折．若在翻折过程中存在某个位置，使得CB⊥AD，则x的取值范围是(　　)

A. (0，] B. (，2]

C. (，2] D. (2，4]

二、填空题(共5小题，每小题2分，共10分)

26. 设函数f(x)＝则f(3)的值为________．

27. 若球O的体积为36π cm3，则它的半径等于________cm.

28. 设圆C：x2＋y2＝1，直线l：x＋y＝2，则圆心C到直线l的距离等于________．

29. 设P是半径为1的圆上一动点，若该圆的弦AB＝，则·的取值范围是________．

30. 记ave表示实数a，b，c的平均数，max表示实数a，b，c的最大值，设A＝ave{－x＋2，x，x＋1}，M＝max{－x＋2，x，x＋1}，若M＝3，则x的取值范围是________．

三、解答题(共4小题，共30分)

31. (本题7分)已知sin α＝，0<α<，求cos α和sin(α＋)的值．

32. (本题7分，有A、B两题，任选其中一题完成，两题都做，以A题计分)

[第32题(A)]

(A)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为菱形，对角线AC与BD相交于点E，平面PAC垂直底面ABCD，线段PD的中点为F.

(1)求证：EF∥平面PBC；

(2)求证：BD⊥PC.

(B)如图，在三棱锥P－ABC中，PB⊥AC，PC⊥平面ABC，点D，E分别为线段PB，AB的中点．

(1)求证：AC⊥平面PBC；

(2)设二面角D－CE－B的平面角为θ，若PC＝2，BC＝2，AC＝2，求cos θ的值．

[第32题(B)]

33. (本题8分)如图，设直线l：y＝kx＋(k∈R)与抛物线C：y＝x2相交于P，Q两点，其中Q点在第一象限．

(第33题)

(1)若点M是线段PQ的中点，求点M到x轴距离的最小值；

(2)当k>0时，过点Q作y轴的垂线交抛物线C于点R，若·＝0，求直线l的方程．

34. (本题8分)设函数f＝x2－ax＋b，a，b∈R.

(1)已知f在区间上单调递减，求a的取值范围；

(2)存在实数a，使得当x∈时，2≤f≤6恒成立，求b的最大值及此时a的值．

13　2014年浙江省普通高中学业水平考试

《数学》试卷

1. A　2. B　3. C　4. C　5. C　6. A　7. C

8. C　9. A　10. A　11. D　12. B　13. B　14. A

15. D　16. B　17. B　18. C　19. C　20. B

21. B　22. A　23. D　24. C　25. A

26. 7　27. 3　28. 　29. 

30. x≥2或x＝－4

31. 解：由sin2α＋cos2α＝1，及0<α<，sin α＝，得cos α＝＝.所以sin＝sin αcos＋cos αsin＝×＋×＝.

[第32题(A)]

32. 证明：(A)(1)∵四边形ABCD是菱形，∴E为线段BD的中点．又∵点F为线段PD的中点，∴EF∥PB.又∵PB?平面PBC，EF?平面PBC，∴EF∥平面PBC.　(2)∵平面PAC⊥底面ABCD，平面PAC∩底面ABCD＝AC，BD?底面ABCD，由四边形ABCD菱形，可得BD⊥AC，∴BD⊥平面PAC.又∵PC?平面PAC，∴BD⊥PC.

[第32题(B)]

(B)(1)∵PC⊥平面ABC，AC?平面ABC，∴AC⊥PC.又∵AC⊥PB，PC∩BC＝C，∴AC⊥平面PBC.　(2)如图，以C为原点，CA，CB，CP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A，B(0，2，0)，P.又∵点D，E分别为线段PB，AB的中点，∴D(0，1，1)，E，则＝，＝.设平面CDE的法向量为n1＝，由，得取n1＝，又∵平面CBE的法向量n2＝，∴cos θ＝＝.

33. 解：(1)设点P，Q，M，由方程组得x2－kx－＝0，则x1x2＝－，∴y1y2＝x12x22＝2，∴yM＝≥＝，当且仅当y1＝y2，即k＝0时等号成立，∴点M到x轴距离的最小值是.(注：由对称性直接得出结论也可)

(2)P，Q，M(－x2，x22)，直线PR的斜率为＝x1－x2.又∵·＝0，∴PQ⊥PR，即直线PR的斜率为－，∴x2－x1＝.由(1)得x1＋x2＝k，x1x2＝－，∴＝－4x1x2，即k4＋4k2－1＝0，解得k＝±，又∵k>0，∴k＝－1，∴直线l的方程为y＝x＋.

34. 解：(1)由题意，得≥1，所以a≥2.　(2)显然b>0.f(x)＝＋b－.①当<0时，只需满足由a<0及b≥2，得f(b)>b2＋b≥6，与f(b)≤6矛盾．　②当＞b时，只需满足由a＞2b＞0，得－ab＜－2b2，∴f(b)