辽宁省大连市2014-2015学年高二上学期期末考试 数学（理）

本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡和答题纸上，在本试卷上答题无效．

第I卷

一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．“
”是“
”的 （ ）

A.充要条件 B.必要不充分条件

C.充分不必要条件 D.既不必要也不充分条件

2.等差数列
的前项和为
，若
，则
的值为 ( )

A．30 B．45 C.90 D．180

3.已知椭圆
上一点
到椭圆的一个焦点的距离等于4，那么点
到另一个焦点的距离等于 （ ）

A. 1 B. 3 C. 6 D. 10

4. 下列命题错误的是 （ ）

A．命题“若则”与命题“若
，则
”互为逆否命题

B．命题“
R,
”的否定是“
R,
”

C．
且
，都有

D．“若
”的逆命题为真

5.如图1所示，在平行六面体
中，若
，
，
，则下列向量中与
相等的向量是 ( )

A．
B．

C．
D．

6. 已知变量
满足约束条件
，则
的最大值为 （ ）

A.12 B.11 C.3 D.－１

7.设抛物线
上一点到轴距离是6，则点到该抛物线焦点的距离是 （ ）

A．12 B．8 C．6 D．4

双曲线
的渐近线方程为 （ ）

A.
B.
C.
D.

9.在如图2所示的空间直角坐标系中,正方体
棱长为2，为正方体的棱
的中点,为棱
上的一点,且
则点F的坐标为 （ ）

A.
B.

C.
D.

10.设
，若
是
的等比中项，则
的最小值为 （ ）

A. 8 B. 4 C. 1 D.

11. 若函数
在
内单调递增，则的取值范围是( )

A．
B．
C．
D．

12. 已知
分别是椭圆
的左、右焦点，是以
为直径的圆与该椭圆的一个交点，且
，则这个椭圆的离心率是 （ ）

A.
B．
C．
D．

第II卷

二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分．

13．
.

14. 曲线
在点
处的切线方程为________________________.

15.等差数列
、
满足
(
N*)，且前项和分别为
，

则
的值为 .

16.直三棱柱
中，
，
，
是
的中点,则
与
所成角的余弦值为________________________.

三、解答题：本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分10分）

已知向量
,
.

(Ⅰ)若向量
与向量
互相平行，求实数
的值；

(Ⅱ) 求由向量和向量所确定的平面的单位法向量.

18．(本小题满分12分)

已知函数
.

（Ⅰ）求
的单调区间;

（Ⅱ）求
在
上的最大值和最小值．

19．(本小题满分12分)

已知动点
到点
的距离比它到直线
的距离多1.

（Ⅰ）求动点
的轨迹
的方程；

（Ⅱ）求过点
且倾斜角为
的直线被曲线
所截得线段的长度.

20．（本小题满分12分）

如图3所示，在底面为平行四边形的四棱锥
中，
，
平面
，且
，
，点是
的中点.

（Ⅰ）求证：
平面
；

（Ⅱ）求二面角
的大小.

21．（本小题满分12分）

已知函数
，(
R).

（Ⅰ）若函数
在区间
上是增函数，求实数的取值范围；

（Ⅱ）若
在
时恒成立，求实数的取值范围.

22.（本小题满分12分）

已知椭圆
的左、右焦点分别为
，椭圆上两点
坐标分别为
，若
面积为
，
.

（Ⅰ）求椭圆
的标准方程；

（Ⅱ）过点
作两条互相垂直的射线，与椭圆
分别交于
两点，证明：点
到直线
的距离为定值.

2014～2015学年第一学期期末考试答案

高二数学（理科）

1~12 CBCDD BBAAB CA

13. 2 14.
15.
16.

17.解：（1）

若
与
互相平行，则
，故
5分

（2）设法向量
，则
，故

令
，所以
，即所求平面的一个法向量为
，故单位法向量为
或
10分

18.解：（1）f(x)＝x3＋2x2－4x＋5，

∴f′(x)＝3x2＋4x－4 2分

令
，则
或
，令
，则
，

所以增区间为
，减区间为
6分

（2）令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝，

[－3，－2)

-2











+

0

-

0

+







13











∴
为极大值点，
为极小值点，

又f(－3)＝8，f(－2)＝13，f＝，f(1)＝4，

∴y＝f(x)在[－3,1]上的最大值为13，最小值为. 12分

19.解：（1）由题意易知，动点
到点
的距离与到直线
的距离相等，故
点的轨迹为以
为焦点，
为准线的抛物线，此抛物线方程为
4分

设直线与抛物线交点为
,直线
方程为
，

即
6分

将直线方程与抛物线方程联立
，得
，

故

12分

（其他方法请酌情给分）

20.解：∵
平面
，
平面

∴
，
，且
．

以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系
； 2分

（1）∵
，
∴
，

∴
，
，

设平面
的法向量为
，

则
，取
，得
．

又
，所以

∵
，∴
，又
平面
，

因此：
平面
． 6分

（2）∵平面
的一个法向量为
，

由（1）知：平面
的法向量为
，

设二面角
的平面角为
（
为钝角），则

，得：

所以二面角
的大小为
． 12分

（注：（1）问的证明用几何法亦可，但在（2）问中要体现平面
法向量的求解过程）

21. 解：（Ⅰ）
,
.

因为函数
是区间
上的增函数，

所以
，即
在
上恒成立.

因为
是增函数，所以满足题意只需
，即
. 6分

（Ⅱ）

，即
在
上恒成立，即

构造函数
，
，则
，易知
，在
上恒成立，
，故
. 12分

解：(1)由题意，易知
，

，椭圆方程为
4分

(2)设
，当直线
的斜率不存在时，
轴，
为等腰直角三角形，
，又
，解得
，

即
到直线
的距离
6分

当直线的斜率存在时，直线
的方程为
,与椭圆
联立消去得
，

，

即

，

整理得

O到直线
的距离
12分